一、单选题 （共 12 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+x^{2}} \cos ^{4} x \mathrm{~d} x, N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin ^{3} x+\cos ^{4} x\right) \mathrm{d} x, P=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(x^{2} \sin ^{3} x-\cos ^{4} x\right) \mathrm{d} x$, 则有
$\text{A.}$ $N < P < M$.
$\text{B.}$ $M < P < N$.
$\text{C.}$ $N < M < P$.
$\text{D.}$ $P < M < N$.
设在 $[0,1]$ 上 $f^{\prime \prime}(x)>0$, 则 $f^{\prime}(0), f^{\prime}(1), f(1)-f(0)$ 或 $f(0)-f(1)$ 的大小顺序是
$\text{A.}$ $f^{\prime}(1)>f^{\prime}(0)>f(1)-f(0)$.
$\text{B.}$ $f^{\prime}(1)>f(1)-f(0)>f^{\prime}(0)$.
$\text{C.}$ $f(1)-f(0)>f^{\prime}(1)>f^{\prime}(0)$.
$\text{D.}$ $f^{\prime}(1)>f(0)-f(1)>f^{\prime}(0)$.
设 $f(x)$ 连续， $F(x)=\int_0^{x^2} f\left(t^2\right) \mathrm{d} t$ ，则 $F^{\prime}(x)$ 等于
$\text{A.}$ $f\left(x^4\right)$
$\text{B.}$ $x^2 f\left(x^4\right)$
$\text{C.}$ $2 x f\left(x^4\right)$
$\text{D.}$ $2 x f\left(x^2\right)$
若 $f(x)$ 的导数是 $\sin x$ ，则 $f(x)$ 有一个原函数为
$\text{A.}$ $1+\sin x$
$\text{B.}$ $1-\sin x$
$\text{C.}$ $1+\cos x$
$\text{D.}$ $1-\cos x$
已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^2 & 0 \leq x < 1 \\ 1 & 1 \leq x \leq 2\end{array}\right.$ ，设
$$
F(x)=\int_1^x f(t) \mathrm{d} t(0 \leq x \leq 2) ，
$$
则 $f(x)$ 为
$\text{A.}$ $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{3} x^3, 0 \leq x < 1 \\ x, 1 \leq x \leq 2\end{array}\right.$
$\text{B.}$ $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{3} x^3-\frac{1}{3}, 0 \leq x < 1 \\ x, 1 \leq x \leq 2\end{array}\right.$
$\text{C.}$ $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{3} x^3, 0 \leq x < 1 \\ x-1,1 \leq x \leq 2\end{array}\right.$
$\text{D.}$ $\begin{cases}\frac{1}{3} x^3-\frac{1}{3} & 0 \leq x < 1 \\ x-1 & 1 \leq x \leq 2\end{cases}$
设 $f(x)$ 为连续函数，且 $F(x)=\int_{\frac{1}{x}}^{\ln x} f(t) \mathrm{d} t$ ，则 $F^{\prime}(x)$ 等于
$\text{A.}$ $\frac{1}{x} f(\ln x)+\frac{1}{x^2} f\left(\frac{1}{x}\right)$
$\text{B.}$ $f(\ln x)+f\left(\frac{1}{x}\right)$
$\text{C.}$ $\frac{1}{x} f(\ln x)-\frac{1}{x^2} f\left(\frac{1}{x}\right)$
$\text{D.}$ $f(\ln x)-f\left(\frac{1}{x}\right)$
设 $M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+x^2} \cos ^4 x \mathrm{~d} x$ ，
$$
\begin{aligned}
& N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin ^3 x+\cos ^4 x\right) \mathrm{d} x, \\
& P=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(x^2 \sin ^3 x-\cos ^4 x\right) \mathrm{d} x
\end{aligned}
$$
则
$\text{A.}$ $N < P < M$
$\text{B.}$ $M < P < N$
$\text{C.}$ $N < M < P$
$\text{D.}$ $P < M < N$
设 $F(x)=\int_x^{x+2 \pi} e^{\sin t} \sin t \mathrm{~d} t$ ，则 $F(x)$
$\text{A.}$ 为正常数
$\text{B.}$ 为负常数
$\text{C.}$ 恒为零
$\text{D.}$ 不为常数
设 $f(x), \varphi(x)$ 在点 $x=0$ 的某邻域内连续，且当 $x \rightarrow 0$时， $f(x)$ 是 $\varphi(x)$ 的高阶无穷小，则当 $x \rightarrow 0$ 时， $\int_0^x f(t) \sin t \mathrm{~d} t$ 是 $\int_0^x t \varphi(t) \mathrm{d} t$ 的
$\text{A.}$ 低阶无穷小
$\text{B.}$ 高阶无穷小
$\text{C.}$ 同阶但不等价的无穷小
$\text{D.}$ 等价无穷小
设 $f(x)$ 是连续函数， $F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数 则
$\text{A.}$ 当 $f(x)$ 是奇函数时， $F(x)$ 必是偶函数
$\text{B.}$ 当 $f(x)$ 是偶函数时， $F(x)$ 必是奇函数
$\text{C.}$ 当 $f(x)$ 是是周期函数时， $F(x)$ 必是周期函数
$\text{D.}$ 当 $f(x)$ 是单调增函数时， $F(x)$ 必是单调增函数
设 $f(x)$ 是连续函数， $F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数，则
$\text{A.}$ 当 $f(x)$ 是奇函数时， $F(x)$ 必是偶函数
$\text{B.}$ 当 $f(x)$ 是偶函数时， $F(x)$ 必是奇函数
$\text{C.}$ 当 $f(x)$ 是是周期函数时， $F(x)$ 必是周期函数
$\text{D.}$ 当 $f(x)$ 是单调增函数时， $F(x)$ 必是单调增函数
如图，曲线方程为 $y=f(x)$ ，函数 $f(x)$ 在区间 $[0, a]$ 上有连续导数，则定积分 $\int_0^a x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ 在几何上表示
$\text{A.}$ 曲边梯形 $A B O D$ 的面积
$\text{B.}$ 梯形 $A B O D$ 的面积
$\text{C.}$ 曲边三角形 $A C D$ 面积
$\text{D.}$ 三角形 $A C D$ 面积
二、判断题 （共 1 题，每小题 5 分，共 20 分）
等式 $\int_0^a f(x) \mathrm{d} x=-\int_0^a f(a-x) \mathrm{d} x$ ，对任何实数 $a$都成立.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
三、填空题 （共 13 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
积分 $\int_{0}^{2} d x \int_{x}^{2} e^{-y^{2}} d y$ 的值等于
若 $f(t)=\lim _{x \rightarrow \infty} t\left(1+\frac{1}{x}\right)^{2 t x}$, 则 $f^{\prime}(t)=$
$\int \frac{d x}{(2-x) \sqrt{1-x}}=$
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left[\int_0^{\cos 3 x} f(t) \mathrm{d} t\right]=$
$\int_{-2}^2 \frac{x+|x|}{2+x^2} \mathrm{~d} x=$
设 $\int x f(x) \mathrm{d} x=\arcsin x+c$ ，则 $\int \frac{\mathrm{d} x}{f(x)}=$
设 $f(x)$ 连续，则 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_0^x t f\left(x^2-t^2\right) \mathrm{d} t=$
设 $f(x)$ 有一个原函数 $\frac{\sin x}{x}$ ，则 $\int_{\frac{\pi}{2}}^\pi x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=$
$\int_0^1 \sqrt{2 x-x^2} \mathrm{~d} x=$
$\int_2^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{(x+7) \sqrt{x-2}}=$
$\int_e^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x \ln ^2 x}=$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x e^{x^2}, & -\frac{1}{2} \leq x < \frac{1}{2} \\ -1, & x \geq \frac{1}{2}\end{array}\right.$ ，则 $\int_{\frac{1}{2}}^2 f(x-1) \mathrm{d} x=$
$\int_0^1 \frac{x \mathrm{~d} x}{\left(2-x^2\right) \sqrt{1-x^2}}=$
四、解答题 （ 共 14 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1+x^{2}, & x \leqslant 0, \\ \mathrm{e}^{-x}, & x>0,\end{array}\right.$ 求 $\int_{1}^{3} f(x-2) \mathrm{d} x$.
求 $\int \frac{x e^{x}}{\sqrt{e^{x}-1}} d x$.
计算定积分 $\int_{-2}^2(|x|+x) e^{-|x|} \mathrm{d} x$.
求 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_0^{x^2}\left(x^2-t\right) f(t) \mathrm{d} t$ ，其中 $f(t)$ 为已知的连续函数.
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1+x^2, & x \leq 0 \\ e^{-x}, & x>0\end{array}\right.$ ，求 $\int_1^3 f(x-2) \mathrm{d} x$.
计算 $\int_0^1 x\left(1-x^4\right)^{\frac{3}{2}} \mathrm{~d} x$.
设 $f\left(x^2-1\right)=\ln \frac{x^2}{x^2-2}$, 且 $f[\varphi(x)]=\ln x$ ，求 $\int \varphi(x) \mathrm{d} x$.
设 $f(x)=\int_0^x \frac{\sin t}{\pi-t} \mathrm{~d} t$ ，计算 $\int_0^\pi f(x) \mathrm{d} x$
设 $f(x), g(x)$ 在区间 $[-a, a](a>0)$ 上连续， $g(x)$ 为偶函数，且 $f(x)$ 满足 $f(x)+f(-x)=A$ ( $A$ 为常数).
(1) 证明: $\int_{-a}^a f(x) g(x) \mathrm{d} x=A \int_0^a g(x) \mathrm{d} x$ ；
(2) 利用(1)的结论计算定积分 $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}|\sin x| \arctan e^x \mathrm{~d} x$.
计算 $\int_1^{+\infty} \frac{\arctan x}{x^2} \mathrm{~d} x$.
设 $f\left(\sin ^2 x\right)=\frac{x}{\sin x}$ ，求 $\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}} f(x) \mathrm{d} x$.
计算不定积分 $\int \frac{x e^{\arctan x}}{\left(1+x^2\right)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} x$.
设 $f(x), g(x)$ 在 $[0,1]$ 上的导数连续，且 $f(0)=0$ ， $f^{\prime}(x) \geq 0 ， g^{\prime}(x) \geq 0$. 证明：对任何 $a \in[0,1]$ ，有
$$
\int_0^a g(x) f^{\prime}(x) \mathrm{d} x+\int_0^1 f(x) g^{\prime}(x) \mathrm{d} x \geq f(a) g(1) .
$$
计算 $\int_0^1 \frac{x^2 \arcsin x}{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{~d} x$.