一、单选题 （共 11 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $f(x)$ 有二阶连续导数, 且 $f^{\prime}(0)=0, \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime \prime}(x)}{|x|}=1$, 则( )
$\text{A.}$ $f(0)$ 是 $f(x)$ 的极大值.
$\text{B.}$ $f(0)$ 是 $f(x)$ 的极小值.
$\text{C.}$ $(0, f(0))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点.
$\text{D.}$ $f(0)$ 不是 $f(x)$ 的极值, $(0, f(0))$ 也不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点.
设 $f^{\prime}\left(x_0\right)=f^{\prime \prime}\left(x_0\right)=0, f^{\prime \prime \prime}\left(x_0\right)>0$ 则下列选项正确的是
$\text{A.}$ $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 是 $f^{\prime}(x)$ 的极大值
$\text{B.}$ $f\left(x_0\right)$ 是 $f(x)$ 的极大值
$\text{C.}$ $f\left(x_0\right)$ 是 $f(x)$ 的极小值
$\text{D.}$ $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点
已知函数 $y=f(x)$ 对一切 $x$ 满足$x f^{\prime \prime}(x)+3 x\left[f^{\prime}(x)\right]^2=1-e^{-x} \text {. }$
若 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0\left(x_0 \neq 0\right)$ ，则
$\text{A.}$ $f\left(x_0\right)$ 是 $f(x)$ 的极大值
$\text{B.}$ $f\left(x_0\right)$ 是 $f(x)$ 的极小值
$\text{C.}$ $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点
$\text{D.}$ $f\left(x_0\right)$ 不是 $f(x)$ 的极值， $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 也不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，其导函数的图形如下图所示，则 $f(x)$ 有
$\text{A.}$ 一个极小值点和两个极大值点
$\text{B.}$ 两个极小值点和一个极大值点
$\text{C.}$ 两个极小值点和两个极大值点
$\text{D.}$ 三个极小值点和一个极大值点
已知函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 的某个邻域内连续，且 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)-x y}{\left(x^2+y^2\right)^2}=1$ ，则
$\text{A.}$ 点 $(0,0)$ 不是 $f(x, y)$ 的极值点
$\text{B.}$ 点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极大值点
$\text{C.}$ 点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极小值点
$\text{D.}$ 根据所给条件无法判断点 $(0,0)$ 是否为 $f(x, y)$ 的极值点
设 $f(x)=|x(1-x)|$. 则
$\text{A.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，但 $(0,0)$ 不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点
$\text{B.}$ $x=0$ 不是 $f(x)$ 的极值点，但 $(0,0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点
$\text{C.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，且 $(0,0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点
$\text{D.}$ $x=0$ 不是 $f(x)$ 的极值点， $(0,0)$ 也不是曲线 $y=f(x)$的拐点
设有三元方程 $x y-z \ln y+e^{x z}=1$ ，根据隐函数存在定理，存在点 $(0,1,1)$ 的一个邻域，在此邻域内该方程
$\text{A.}$ 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 $z=z(x, y)$
$\text{B.}$ 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 $x=x(y, z)$ 和 $z=z(x, y)$
$\text{C.}$ 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 $y=y(x, z)$ 和 $z=z(x, y)$
$\text{D.}$ 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 $x=x(y, z)$ 和 $y=y(x, z)$
设函数 $y=y(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{c}x=t^2+2 t \\ y=\ln (1+t)\end{array}\right.$ 确定，则曲线 $y=y(x)$ 在 $x=3$ 处的法线与 $x$ 轴交点的横坐标是
$\text{A.}$ $\frac{1}{8} \ln 2+3$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{8} \ln 2+3$
$\text{C.}$ $-8 \ln 2+3$
$\text{D.}$ $8 \ln 2+3$
设 $f(x)=x \sin x+\cos x$ ， 下列命题中正确的是
$\text{A.}$ $f(0)$ 是极大值， $f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ 是极小值
$\text{B.}$ $f(0)$ 是极小值， $f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ 是极大值
$\text{C.}$ $f(0)$ 是极大值， $f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ 也是极大值
$\text{D.}$ $f(0)$ 是极小值， $f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ 也是极小值
设函数 $g(x)$ 可微， $h(x)=e^{1+g(x)}, h^{\prime}(1)=1, g^{\prime}(1)=2$ ，则 $g(1)$ 等于
$\text{A.}$ $\ln 3-1$
$\text{B.}$ $-\ln 3-1$
$\text{C.}$ $-\ln 2-1$
$\text{D.}$ $\ln 2-1$
设 $f(x, y)$ 与 $\varphi(x, y)$ 均为可微函数，且 $\varphi_y^{\prime}(x, y) \neq 0$ ，已知 $\left(x_0, y_0\right)$ 是 $f(x, y)$ 在约束条件 $\varphi(x, y)=0$ 下的一个极值点，下列选项正确的是
$\text{A.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$ ，则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$
$\text{B.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$ ，则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$
$\text{C.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$ ，则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$
$\text{D.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$ ，则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$
二、填空题 （共 12 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $\left\{\begin{array}{l}x=1+t^{2}, \\ y=\cos t,\end{array}\right.$ 则 $\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}=$
函数 $y=y(x)$ 由方程 $\sin \left(x^2+y^2\right)+e^x-x y^2=0$ 所确定，则 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=$
设函数 $y=y(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=t-\ln (1+t) \\ y=t^3+t^2\end{array}\right.$ 所确定，则 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}=$
设方程 $e^{x y}+y^2=\cos x$ 确定的 $y$ 为 $x$ 的函数，则 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=$
设 $y=\cos \left(x^2\right) \sin ^2 \frac{1}{x}$ ，则 $y^{\prime}=$
设 $z=x y f\left(\frac{y}{x}\right), f(u)$ 可导，则 $x z_x^{\prime}+y z_y^{\prime}=$
设方程 $x=y^y$ 确定 $y$ 是 $x$ 的函数，则 $\mathrm{d} y=$
设 $f(x, y, z)=e^x y z^2$ ，其中 $z=z(x, y)$ 是由 $x+y+z$ $+x y z=0$ 确定的隐函数，则 $f_x^{\prime}(0,1,-1)=$
设 $z=f\left(x y, \frac{x}{y}\right)+g\left(\frac{y}{x}\right)$ ，其中 $f, g$ 均可微，则 $\frac{\partial z}{\partial x}=$
设函数 $y(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=t^3+3 t+1 \\ y=t^3-3 t+1\end{array}\right.$ 确定，则曲线 $y=y(x)$ 向上凸的 $x$ 取值范围为
设函数 $f(x)$ 在 $x=2$ 的某邻域内可导,且 $f^{\prime}(x)=e^{f(x)}$, $f(2)=1$, 则 $f^{\prime \prime \prime}(2)=$
曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos t+\cos ^2 t \\ y=1+\sin t\end{array}\right.$ 上对应于 $t=\frac{\pi}{4}$ 的点处的法线斜率为
三、解答题 （ 共 13 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
(1) 设 $f, g$ 为连续可微函数, $u=f(x, x y), v=g(x+x y)$, 求 $\frac{\partial u}{\partial x} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}$.
(2) 设矩阵 ${A}$ 和 ${B}$ 满足关系式 ${A B}={A}+2 {B}$, 其中 ${A}=\left(\begin{array}{lll}3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 4\end{array}\right)$, 求矩阵 ${B}$.
设 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos \left(t^{2}\right), \\ y=t \cos \left(t^{2}\right)-\int_{1}^{t^{2}} \frac{1}{2 \sqrt{u}} \cos u \mathrm{~d} u,\end{array}\right.$ 求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$ 在 $t=\sqrt{\frac{\pi}{2}}$ 的值.
设函数 $y=y(x)$ 方程 $x e^{f(y)}=e^y$ 确定，其中 $f$ 具有二阶导数，且 $f^{\prime} \neq 1$ ，求 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}$
求摆线 $\left\{\begin{array}{l}x=1-\cos t \\ y=t-\sin t\end{array}\right.$ 一拱 $(0 \leq t \leq 2 \pi)$ 的弧长.
求函数 $f(x)=\int_0^{x^2}(2-t) e^{-t} \mathrm{~d} t$ 的最大值和最小值.
设 $y=y(x)$ 由 $\left\{\begin{array}{l}x=\int_0^t f\left(u^2\right) \mathrm{d} u \\ y=\left[f\left(t^2\right)\right]^2\end{array}\right.$ 确定，其中 $f(u)$ 具有二阶导数，且 $f(u) \neq 0$ ，求 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}$.
设 $z=f(u)$ ，方 程 $u=\varphi(u)+\int_y^x p(t) \mathrm{d} t$ 确定 $u$ 是 $x, y$ 的函数，其中 $f(u), \varphi(u)$ 可微； $p(t), \varphi^{\prime}(u)$ 连续，且 $\varphi^{\prime}(u) \neq 1$ ，求 $p(y) \frac{\partial z}{\partial x}+p(x) \frac{\partial z}{\partial y}$.
设 $y=y(x)$ 由 $\left\{\begin{array}{l}x=\arctan t \\ 2 y-t y^2+e^t=5\end{array}\right.$ 所确定，求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$.
一商家销售某种商品的价格满足关系 $p=7-0.2 x$ (万元吨)， $x$ 为销售量(单位: 吨)，商品的成本函数是 $C=3 x+1$ (万元).
(1) 若销售一吨商品，政府要征税 $t$ (万元)，求该商家获最大利润时的销售量;
(2) $t$ 为何值时，政府税收总额最大?
为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放人井底，抓起污泥后提出井口（见图），已知井深 $30 \mathrm{~m}$ ，抓斗自重 $400 \mathrm{~N}$ ，缆绳每米 $50 \mathrm{~N}$ ，抓斗抓起的污泥重 $2000 \mathrm{~N}$ ，提升速度为 $3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ，在提升的过程中，污泥以 $20 \mathrm{~N} / \mathrm{s}$ 的速率从缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需做多少焦耳的功?（说明:
(1) $1 \mathrm{~N} \times 1 \mathrm{~m}=1 \mathrm{~J} ; \mathrm{m}, \mathrm{N}, \mathrm{s}, \mathrm{J}$ 分别表示米，牛顿，秒，焦耳;
(2) 抓斗的高度位于井口上方的缆绳长度忽略不计).
设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(1,1)$ 处可微,且 $f(1,1)=1$ ， $f_x^{\prime}(1,1)=2 ， f_y^{\prime}(1,1)=3, \varphi(x)=f(x, f(x, x))$ ，求 $\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \varphi^3(x)\right|_{x=1}$
设函数 $y=y(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=1+2 t^2 \\ y=\int_1^{1+2 \ln t} \frac{e^u}{u} \mathrm{~d} u\end{array}\right.$ $(t>1)$ 所确定，求 $\left.\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{x-9}$.
设 $a>1, f(t)=a^t-a t$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内的驻点为 $t(a)$. 问 $a$ 为何值时， $t(a)$ 最小? 并求出最小值.