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考研数学-0725-11

数学

一、单选题 (共 8 题,每小题 5 分,共 50 分,每题只有一个选项正确)
下列广义积分发散的是
$\text{A.}$ $\int_{-1}^1 \frac{1}{\sin x} \mathrm{~d} x$ $\text{B.}$ $\int_{-1}^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{~d} x$ $\text{C.}$ $\int_0^{+\infty} e^{-x^2} \mathrm{~d} x$ $\text{D.}$ $\int_2^{+\infty} \frac{1}{x \ln ^2 x} \mathrm{~d} x$


设 $f(x)$ 连续,则 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_0^x t f\left(x^2-t^2\right) \mathrm{d} t=$
$\text{A.}$ $x f\left(x^2\right)$ $\text{B.}$ $-x f\left(x^2\right)$ $\text{C.}$ $2 x f\left(x^2\right)$ $\text{D.}$ $-x f\left(x^2\right)$


设 $f(x)$ 为连续函数, $F(t)=\int_1^t \mathrm{~d} y \int_y^t f(x) \mathrm{d} x$ ,则 $F^{\prime}(2)$ 等于
$\text{A.}$ $2 f(2)$ $\text{B.}$ $f(2)$ $\text{C.}$ $-f(2)$ $\text{D.}$ 0


下列结论正确的是
$\text{A.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x(x+1)}$ 与 $\int_0^1 \frac{\mathrm{d} x}{x(x+1)}$ 都收敛 $\text{B.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x(x+1)}$ 与 $\int_0^1 \frac{\mathrm{d} x}{x(x+1)}$ 都发散 $\text{C.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x(x+1)}$ 发散, $\int_0^1 \frac{\mathrm{d} x}{x(x+1)}$ 收敛 $\text{D.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x(x+1)}$ 收敛, $\int_0^1 \frac{\mathrm{d} x}{x(x+1)}$ 发散


设 $f(x)$ 是奇函数,除 $x=0$ 外处处连续, $x=0$ 是其第一类间断点,则 $\int_0^x f(t) \mathrm{d} t$ 是
$\text{A.}$ 连续的奇函数 $\text{B.}$ 连续的偶函数 $\text{C.}$ 在 $\boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 间断的奇函数 $\text{D.}$ 在 $\boldsymbol{x}=0$ 间断的偶函数


设 $f(x, y)$ 为连续函数,则 $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \mathrm{~d} \theta \int_0^1 f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$ 等于
$\text{A.}$ $\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \mathrm{~d} x \int_x^{\sqrt{1-x^2}} f(x, y) \mathrm{d} y$ $\text{B.}$ $\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \mathrm{~d} x \int_0^{\sqrt{1-x^2}} f(x, y) \mathrm{d} y$ $\text{C.}$ $\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \mathrm{~d} y \int_y^{\sqrt{1-y^2}} f(x, y) \mathrm{d} x$ $\text{D.}$ $\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \mathrm{~d} y \int_0^{\sqrt{1-y^2}} f(x, y) \mathrm{d} x$


设函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续,且 $f(x) \leq g(x)$ ,则对任何 $c \in(0,1)$ ,有
$\text{A.}$ $\int_{\frac{1}{2}}^c f(t) \mathrm{d} t \geq \int_{\frac{1}{2}}^c g(t) \mathrm{d} t$ $\text{B.}$ $\int_{\frac{1}{2}}^c f(t) \mathrm{d} t \leq \int_{\frac{1}{2}}^c g(t) \mathrm{d} t$ $\text{C.}$ $\int_c^1 f(t) \mathrm{d} t \geq \int_c^1 g(t) \mathrm{d} t$ $\text{D.}$ $\int_c^1 f(t) \mathrm{d} t \leq \int_c^1 g(t) \mathrm{d} t$


设函数 $y=f(x)$ 在区间 $[-1,3]$ 上的图形如下图所示,则函数 $F(x)=\int_0^x f(t) \mathrm{d} t$ 的图形为
$\text{A.}$ $\text{B.}$ $\text{C.}$ $\text{D.}$


二、填空题 (共 13 题, 每小题 5 分,共 20 分, 请把答案直接填写在答题纸上)
若 $f(t)=\lim _{x \rightarrow \infty} t\left(1+\frac{1}{x}\right)^{2 t x}$, 则 $f^{\prime}(t)=$



设 $f(x)$ 是连续函数, 且 $\int_{0}^{x^{3}-1} f(t) \mathrm{d} t=x$, 则 $f(7)=$



$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_{x^{2}}^{0} x \cos \left(t^{2}\right) \mathrm{d} t=$



已知函数 $f(x)=\int_0^x e^{-\frac{1}{2} t^2} \mathrm{~d} t,-\infty < x < \infty$.
(1) $f^{\prime}(x)=$
(2) $f(x)$ 的单调性:
(3) $f(x)$ 的奇偶性:
(4) $f(x)$ 图形的拐点:
(5) $f(x)$ 图形的凹凸性:
(6) $f(x)$ 图形的水平渐近线:



$\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x\left(x^2+1\right)}=$



$\int \frac{\tan x}{\sqrt{\cos x}} \mathrm{~d} x=$



$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_0^x \sin (x-t)^2 \mathrm{~d} t=$



$\int \frac{x+5}{x^2-6 x+13} \mathrm{~d} x=$



$\int \frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x=$



设 $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{e^x+e^{2-x}}=$



求 $\int \frac{\mathrm{d} x}{\left(2 x^2+1\right) \sqrt{x^2+1}}$.



设函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导, $f(0)=0$ ,且其反函数为 $g(x)$. 若 $\int_0^{f(x)} g(t) \mathrm{d} t=x^2 e^x$ ,求 $f(x)$.



已知 $f^{\prime}\left(e^x\right)=x e^{-x}$ ,且 $f(1)=0$ ,则 $f(x)=$



三、解答题 ( 共 19 题,满分 80 分,解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 )
求 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sin \frac{2}{x}+\cos \frac{1}{x}\right)^{x}$.



 

求 $\int \frac{\mathrm{d} x}{\sin 2 x+2 \sin x}$.



 

求 $\int \frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}} \mathrm{~d} x$.



 

求 $\int_0^\pi \sqrt{1-\sin x} \mathrm{~d} x$.



 

求 $\int_0^{+\infty} \frac{x}{(1+x)^3} \mathrm{~d} x$.



 

计算 $\lim _{n \rightarrow \infty} \tan ^n\left(\frac{\pi}{4}+\frac{2}{n}\right)$.



 

求 $\int \frac{d x}{\sin (2 x)+2 \sin x}$.



 

求不定积分 $\int(\arcsin x)^2 \mathrm{~d} x$



 

计算 $\int e^{2 x}(\tan x+1)^2 \mathrm{~d} x$.



 

求 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(n \tan \frac{1}{n}\right)^{n^2}$ ( $n$ 为自然数).



 

求 $\int \frac{\arctan \mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^{2 x}} \mathrm{~d} x$.



 

设函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内连续, $f(1)=\frac{5}{2}$ ,且对所有 $x, t \in(0,+\infty)$ ,满足条件
$$
\int_1^{x t} f(u) \mathrm{d} u=t \int_1^x f(u) \mathrm{d} u+x \int_1^t f(u) \mathrm{d} u .
$$
求 $f(x)$ 的表达式.



 

设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2 x+\frac{3}{2} x^2, & -1 \leq x < 0 \\ \frac{x e^x}{\left(e^x+1\right)^2}, & 0 \leq x \leq 1\end{array}\right.$, 求函数 $F(x)=\int_{-1}^x f(t) \mathrm{d} t$ 的表达式.



 

设函数 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续且 $g(x)>0$ ,利用闭区间上连续函数的性质,证明存在一点 $\xi \in[a, b]$ ,使
$$
\int_a^b f(x) g(x) \mathrm{d} x=f(\xi) \int_a^b g(x) \mathrm{d} x .
$$



 

如下图,曲线 $C$ 的方程为 $y=f(x)$ ,点 $(3.2)$ 是它的一个拐点,直线 $l_1$ 与 $l_2$ 分别是曲线 C 在点 $(0,0)$ 与 $(3,2)$ 处的切线,其交点为 $(2,4)$. 设函数 $f(x)$ 具有三阶连续导数,计算定积分 $\int_0^3\left(x^2+x\right) f^{\prime \prime \prime}(x) \mathrm{d} x$.



 

广义积分 $\int_0^{+\infty} \frac{x \mathrm{~d} x}{\left(1+x^2\right)^2}=$



 

求 $\int \frac{\arcsin e^x}{e^x} d x$.



 

求函数 $f(x, y)=x^2+2 y^2-x^2 y^2$ 在区域
$$
D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 4, y \geq 0\right\}
$$

上的最大值和最小值。



 

设函数 $f(x)$ 具有连续的一阶导数,且满足
$$
f(x)=\int_0^x\left(x^2-t^2\right) f^{\prime}(t) \mathrm{d} t+x^2 ,
$$

求 $f(x)$ 的表达式.



 

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