一、单选题 （共 11 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设$f(x)$在$x=a$处连续,$\phi(x)=|x-a|f(x)$,若$\phi(x)$在$x=a$处可导,则$\left(\quad\right)$.
$\text{A.}$ $f(a) =0$
$\text{B.}$ $f(a)≠ 0$
$\text{C.}$ $f'( a) = 0$
$\text{D.}$ $f'( a)≠ 0$
若 $\lim \limits_ {x \rightarrow 0} \dfrac {x- \sin ax}{ \int _{0}^{x} \dfrac {t^{2}}{ \sqrt {b t^{4}}}dt}=2$, 则$\left(\quad\right)$.
$\text{A.}$ $a = 1$,$b = 2$
$\text{B.}$ $a = 1$,$b = 4$
$\text{C.}$ $a = 1$,$b = 6$
$\text{D.}$ $a = 1$,$b = 16$
下列结论正确的是$\left(\quad\right)$.
$\text{A.}$ 若 $\left\{a_n\right\}$有界， $\lim \limits _{n \rightarrow \infty }b_{n} $存在，则 $\lim \limits _{n \rightarrow \infty }a_{n}b_{n}$ 存在
$\text{B.}$ 若 $\left\{a_n\right\}$有界， $\lim \limits _{n \rightarrow \infty }b_{n}=0$, 则 $\lim \limits_ {n \rightarrow \infty }a_{n}b_{n}=0$
$\text{C.}$ 若 $\left\{a_n\right\}$无界,$\left\{b_n\right\}$无界,则 $\left\{a_nb_n\right\}$ 无界
$\text{D.}$ 若 $\left\{a_n\right\}$为无穷小数列，$\left\{b_n\right\}$无界，则 $\lim \limits_ {n \rightarrow \infty }a_{n}b_{n}=0$
下列结论正确的是$\left(\quad\right)$.
$\text{A.}$ 若 $\left\{a_n\right\}$有界， $\lim \limits _{n \rightarrow \infty }b_{n} $存在，则 $\lim \limits _{n \rightarrow \infty }a_{n}b_{n}$ 存在
$\text{B.}$ 若 $\left\{a_n\right\}$有界， $\lim \limits _{n \rightarrow \infty }b_{n}=0$, 则 $\lim \limits_ {n \rightarrow \infty }a_{n}b_{n}=0$
$\text{C.}$ 若 $\left\{a_n\right\}$无界,$\left\{b_n\right\}$无界,则 $\left\{a_nb_n\right\}$ 无界
$\text{D.}$ 若 $\left\{a_n\right\}$为无穷小数列，$\left\{b_n\right\}$无界，则 $\lim \limits_ {n \rightarrow \infty }a_{n}b_{n}=0$
当$x\rightarrow0$时, $(1 x^n)^{\sin x}-1 $是比 $( \sqrt {1 x}-1) \arcsin x $高阶的无穷小， 比$x^2-\sin^2x $低阶的无穷小,则$n=\left(\quad\right)$.
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设$ \alpha = \ln \cos 2x$, $\beta = \ln \dfrac {1-x^{2}}{1 x^{2}}$, 则当$x\rightarrow0$时,$α$是$β$的$\left(\quad\right)$.
$\text{A.}$ 高阶无穷小
$\text{B.}$ 低阶无穷小
$\text{C.}$ 等价无穷小
$\text{D.}$ 同阶而非等价的无穷小
设 $f(x)= \dfrac {|\ln|x||}{x^{2}-1}$, 则$f(x)$有$\left(\quad\right)$.
$\text{A.}$ 两个跳跃间断点，一个第二类间断点
$\text{B.}$ 两个可去间断点，一个第二类间断点
$\text{C.}$ 一个可去间断点，一个跳跃间断点，一个第二类间断点
$\text{D.}$ 三个第二类间断点
设$f(x)$以$2$为周期,当$x∈[-1,1)$时 $f(x)= \begin{cases} -1-x,-1 \le x < 0, \ 2x,0 \le x < \frac {1}{2}, \\ 1-x, \frac {1}{2} \le x < 1, \end{cases}$ 为其傅里叶级数的和函数，则 $S(- \frac {7}{2})=( \quad \quad )$.
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $\frac {3}{4} $
$\text{C.}$ $\frac {1}{2} $
$\text{D.}$ 1
设$f(x)$以$2$为周期,当$x∈[-1,1)$时 $f(x)= \begin{cases} -1-x,-1 \le x < 0, \ 2x,0 \le x < \frac {1}{2}, \\ 1-x, \frac {1}{2} \le x < 1, \end{cases}$ 为其傅里叶级数的和函数，则 $S(- \frac {7}{2})=( \quad \quad )$.
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $\frac {3}{4} $
$\text{C.}$ $\frac {1}{2} $
$\text{D.}$ 1
设$f(x)$以$2$为周期,当$x∈[-1,1)$时 $f(x)= \begin{cases} -1-x,-1 \le x < 0, \ 2x,0 \le x < \frac {1}{2}, \\ 1-x, \frac {1}{2} \le x < 1, \end{cases}$ 为其傅里叶级数的和函数，则 $S(- \frac {7}{2})=( \quad \quad )$.
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $\frac {3}{4} $
$\text{C.}$ $\frac {1}{2} $
$\text{D.}$ 1
设$f(x)$以$2$为周期,当$x∈[-1,1)$时 $f(x)= \begin{cases} -1-x,-1 \le x < 0, \ 2x,0 \le x < \frac {1}{2}, \\ 1-x, \frac {1}{2} \le x < 1, \end{cases}$ 为其傅里叶级数的和函数，则 $S(- \frac {7}{2})=( \quad \quad )$.
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $\frac {3}{4} $
$\text{C.}$ $\frac {1}{2} $
$\text{D.}$ 1
二、填空题 （共 10 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $y= \dfrac {1}{2x-1}$, 则 $y^{(10)}(0)=\underline { \quad \quad \quad }$.
设 $e^{x y}=xy 1$, 则 $y'(0)=\underline { \quad \quad \quad }$.
设 $f(x)= \lim \limits_ {t \rightarrow 0}x^{2}(1-t^{2})^{ \dfrac {x}{ \sin t^{2}}}$, 则 $f'(x)=\underline { \quad \quad \quad }$.
设$y=y(x)$满足 $\Delta y= \dfrac { \Delta x}{1 x^{2}} o( \Delta x)$, 且$y(0)=1$,则$y(x)=\underline { \quad \quad \quad }$.
设$f(x)$在$x=1$处可导且$f(1)=0$,$f'(1)=\pi$,则 $\lim \limits_ {x \rightarrow 0} \dfrac {f( \cos x)}{ \ln (1 x^{2})}= \underline { \quad \quad \quad }$.
设 $f(x)= \begin{cases} \ln (1 ax),&x>0, \\ e^{2x} b,&x \le 0 \end{cases}$ 且$f'(0)$存在,则$a=\underline { \quad \quad \quad } $,$b=\underline { \quad \quad \quad }$.
设$ f(x)=(e^{x}-1)(e^{2x}-2) \cdots (e^{10x}-10)$, 则 $f'(0)=\underline { \quad \quad \quad }$.
设$f(x)$连续可导,且 $\lim \limits_ {x \rightarrow 1} \dfrac {f(x) 1}{x-1}=2$, 则 $\lim \limits_ {x \rightarrow 0} \dfrac {f(1 2x)-f(1-3x)}{x}= \underline { \quad \quad \quad }$.
设$ f(x)=(e^{x}-1)(e^{2x}-2) \cdots (e^{10x}-10)$, 则 $f'(0)=\underline { \quad \quad \quad }$.
$\int \frac{d x}{(2-x) \sqrt{1-x}}=$
三、解答题 （ 共 19 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1+x^{2}, & x \leqslant 0, \\ \mathrm{e}^{-x}, & x>0,\end{array}\right.$ 求 $\int_{1}^{3} f(x-2) \mathrm{d} x$.
求 $\int \frac{x e^{x}}{\sqrt{e^{x}-1}} d x$.
设$ f(x)= \dfrac { \ln |x|}{|x-1|} \sin x$, 求$f(x)$的间断点并判断其类型.
设$ f(x)= \dfrac {1}{ \pi x} \dfrac {1}{ \sin \pi x}- \dfrac {1}{ \pi (1-x)},x \in \left[ \dfrac {1}{2},1\right) $试补充定义使得$f(x)$在区间 $\left[ \dfrac {1}{2},1\right] $上连续.
设 $f(x)=e^{ \dfrac {1}{x}} \arctan \dfrac {1}{x^{2}-1}$, 求$f(x)$的间断点并判断其类型.
求$ f(x)= \dfrac {x^{3} x}{(x^{2}-1) \arctan x}e^{ \dfrac {1}{x-2}}$ 的间断点并分类.
设 $f(x)= \dfrac {1-e^{ \dfrac {1}{x-1}}}{1 e^{ \dfrac {2}{x-1}}} \arctan \dfrac {1}{x}$, 求$f(x)$的间断点，并分类.
设 $f(x)= \dfrac {x}{1-e^{ \dfrac {x}{1-x}}} $求$f(x)$的间断点并判断其类型.
讨论函数 $f(x)= \lim \limits _{n \rightarrow \infty } \dfrac { \ln (e^{n} x^{n})}{n}(x>0) $的连续性.
讨论函数 $f(x)= \begin{cases} \dfrac { \sin x}{|x|},&x \neq 0 \\ 1,&x=0 \end{cases}$ 的连续性.
生命在于运动, 小双每天坚持练习跳绳. 某一天, 小双以 1 分钟跳 160 个为目 标, 并把 10 次 1 分钟跳的数量记录如下 (超过 160 个的部分记为 “ ”, 少于 160 个的 部分记为 “-”) : $-9,-10,-2, 12, 10,-11, 13,-2, 6, 7$.
(1) 小双在这 10 次跳绳练习中, 1 分钟最少跳了多少个?
(2) 小双在这 10 次跳绳练习中累计跳绳多少个?
计算下列极限.
(1) $\lim \limits _{x \rightarrow 0} \dfrac {(1 2x)^{ \sin x}-1}{x^{2}}$.
(2) $\lim \limits_ {x \rightarrow 0} \dfrac { \ln (e \sin 2x)-1}{x}$.
(3) $\lim \limits_ {x \rightarrow 0} \dfrac { \ln \frac { \sin x}{x}}{ \tan ^{2}x}$.
(4) $\lim \limits_ {x \rightarrow 0} \dfrac {e^{ \tan x}-e^{x}}{x^{3}}$.
(5) $\lim \limits_ {x \rightarrow 0} \dfrac { \sqrt {1 x \cos x}- \sqrt {1 x}}{x^{2} \arcsin 2x}$.
计算下列极限.
(1) $\lim \limits_ {x \rightarrow 0}( \cos x x^{2})^{ \dfrac {1}{x \ln (1 x)}}$.
(2) $\lim \limits_ {x \rightarrow 0}(e^{x} e^{ \sin 2x}-1)^{ \frac {1}{x}}$.
(3) $\lim \limits_ {x \rightarrow \infty } \left ( \dfrac {x-1}{x 1} \right )^{2x}$.
(4) $\lim \limits_ {x \rightarrow 0} \left ( \dfrac { \arctan x}{x} \right )^{ \dfrac {1}{x^{2}}}$.
计算下列极限.
(1) $\lim \limits_ {x \rightarrow \infty }( \sqrt {x^{2} 4x 1}- \sqrt {x^{2}-2x 3})$.
(2) $\lim \limits_ {x \rightarrow \infty }(x \arctan x- \dfrac { \pi }{2}x)$.
(3) $\lim \limits_ {x \rightarrow \infty } \left ( \dfrac {1}{x}- \dfrac {1}{e^{x}-1} \right )$.
计算下列极限.
(1) $\lim \limits_ {n \rightarrow \infty }(1 2^{n} 3^{n})^{ \frac {1}{n}}$.
(2) $\lim \limits_ {n \rightarrow \infty } \left ( \dfrac {1}{4n^{2} 1} \dfrac {2}{4n^{2} 2} \cdots \dfrac {n}{4n^{2} n} \right )$.
设$a_{1}>0$,$a_{n 1}= \ln (1 a_{n})(n=1,2, \dotsc )$.
(1)证明: $\lim \limits_ {n \rightarrow \infty }a_{n}$ 存在，并求此极限；
(2)求 $\lim \limits_ {n \rightarrow \infty } \dfrac {a_{n 1}-a_{n}}{a_{n}a_{n 1}}$.
求 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_0^{x^2}\left(x^2-t\right) f(t) \mathrm{d} t$ ，其中 $f(t)$ 为已知的连续函数.
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1+x^2, & x \leq 0 \\ e^{-x}, & x>0\end{array}\right.$ ，求 $\int_1^3 f(x-2) \mathrm{d} x$.
计算 $\int_0^1 x\left(1-x^4\right)^{\frac{3}{2}} \mathrm{~d} x$.