求极限 $I=\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{a}{x}-\left(\frac{1}{x^2}-a^2\right) \ln (1+a x)\right](a \neq 0)$.
在经济学中，称函数 $Q(x)=A\left[\delta K^{-x}+(1-\delta) L^{-x}\right]^{-\frac{1}{x}}$为固定替代弹性生产函数，而称函数 $\bar{Q}=A K^\delta L^{1-\delta}$ 为 Cobb-Douglas 生产函数 (简称 $C-D$ 生产函数)，试证明:当 $x \rightarrow 0$ 时，固定替代弹性生产函数变为 $C-D$ 生产函数，即有 $\lim _{x \rightarrow 0} Q(x)=\bar{Q}$.
设 $u=f(x, y, z)$ 有连续偏导数， $y=y(x)$ 和 $z=z(x)$分别由方程 $e^{x y}-y=0$ 和 $e^z-x z=0$ 所确定，求 $\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}$.
假设某种商品的需求量 $Q$ 是单价 $p$ (单位:元)的函数： $Q=12000-80 p$ ，商品的总成本 $C$ 是需求量 $Q$ 的函数： $C=25000+50 Q$ ，每单位商品需要纳税 2 元，试求使销售利润最大的商品单价和最大利润额.
一商家销售某种商品的价格满足关系 $p=7-0.2 x$ (万元吨)， $x$ 为销售量(单位: 吨)，商品的成本函数是 $C=3 x+1$ (万元).
(1) 若销售一吨商品，政府要征税 $t$ (万元)，求该商家获最大利润时的销售量;
(2) $t$ 为何值时，政府税收总额最大?
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，且
$$
F(x)=\int_0^x(x-2 t) f(t) \mathrm{d} t \text { ， }
$$
试证：(1) 若 $f(x)$ 为偶函数，则 $F(x)$ 也是偶函数；
(2) 若 $f(x)$ 单调不增，则 $F(x)$ 单调不减.
设函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续、单调不减且 $f(0) \geq 0$ ，试证函数 $F(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{x} \int_0^x t^n f(t) \mathrm{d} t, & x>0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ 在 $[0,+\infty)$上连续且单调不减（其中 $n>0$ ).
求曲线 $y=x^2-2 x, y=0, x=1, x=3$ 所围成的平面图形的面积 $S$ ，并求该平面图形绕 $y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积 $\boldsymbol{V}$.
从点 $P_1(1,0)$ 作 $x$ 轴的垂线，交抛物线 $y=x^2$ 于点 $Q_1(1,1)$ ，再从 $Q_1$ 作这条抛物线的切线与 $x$ 轴交于 $P_2$ ，然后又从 $P_2$ 作 $x$ 轴的垂线，交抛物线于点 $Q_2$ ，依次重复上述过程得到一系列的点 $P_1, Q_1, P_2, Q_2, \cdots, P_n, Q_n, \cdots$.
(1) 求 $\overline{O P_n}$;
(2) 求级数 $\overline{Q_1 P_1}+\overline{Q_2 P_2}+\cdots+\overline{Q_n P_n}+\cdots$ 的和. 其 中 $n(n>0)$ 为自然数， $\overline{M_1 M_2}$ 表示点 $M_1$ 与 $M_2$ 之间的距离.
设 $D$ 是以点 $O(0,0), A(1,2)$ 和 $B(2,1)$ 为顶点的三角形区域，求 $\iint_D x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.
设函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，且满足方程 $f(t)=e^{4 \pi t^2}+\iint_{x^2+y^2 \leq 4 t^2}\left(\frac{1}{2} \sqrt{x^2+y^2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$. 求 $f(t)$.
设 $A$ 为 $n$ 阶非奇异矩阵， $\alpha$ 为 $n$ 维列向量， $b$ 为常量，记分块矩阵 $P=\left[\begin{array}{cc}E & 0 \\ -\alpha^T A^* & |A|\end{array}\right], Q=\left[\begin{array}{ll}A & \alpha \\ \alpha^T & b\end{array}\right]$, 其中 $A^*$ 是矩阵 $A$ 的伴随矩阵， $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵.
(1) 计算并化简 $P Q$ ；
(2) 证明: 矩阵 $Q$ 可逆的充分必要条件是 $\alpha^T A^{-1} \alpha \neq b$.
设矩阵 $A$ 和 $B$ 相似，且
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 1 \\
2 & 4 & -2 \\
-3 & -3 & a
\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{lll}
2 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & b
\end{array}\right),
$$
(1) 求 $a, b$ 的值;
(2) 求可逆矩阵 $P$ ，使 $P^{-1} A P=B$.
设三阶实对称矩阵 $A$ 的特征值是 $1,2,3$ ，矩阵 $A$ 的属于特征值 1,2 的特征向量分别是
$$
\alpha_1=(-1,-1,1)^T, \alpha_2=(1,-2,-1)^T .
$$
(1) 求 $A$ 的属于特征值 3 的特征向量;
(2) 求矩阵 $A$.
假设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 的绝对值不大于 1 ，
$$
P\{X=-1\}=\frac{1}{8}, P\{X=1\}=\frac{1}{4} ，
$$
在事件 $\{-1 < X < 1\}$ 出现的条件下， $X$ 在 $(-1,1)$ 内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比.
(1)求 $X$ 的分布函数 $F(x)=P\{X \leq x\}$.
(2)求 $\boldsymbol{X}$ 取负值的概率 $\boldsymbol{p}$.
游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯于每个整点的第 5 分钟、 25 分钟和 55 分钟从底层起行. 假设一游客在早八点的第 $X$ 分钟到达底层侯梯处，且 $X$ 在 $[0,60]$ 上均匀分布，求该游客等候时间的数学期望
两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为 5 的指数分布，首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开动. 试求两台记录仪无故障工作的总时间 $T$ 的概率密度 $f(t)$ 、数学期望和方差.
设随机变量 $Y$ 服从参数为 $\boldsymbol{\lambda}=1$ 的指数分布，随机变量
$$
X_k=\left\{\begin{array}{ll}
0 & Y \leq k \\
1 & Y>k
\end{array}(k=1,2)\right.
$$
求: (1) $X_1$ 和 $X_2$ 的联合概率分布； (2) 求 $E\left(X_1+X_2\right)$.