单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
已知集合 $M=\{x \mid-4 < x \leqslant 1\}, N=\{x \mid-1 < x < 3\}$, 则 $M \cup N=$
$\text{A.}$ $\{x \mid-4 < x < 3\}$
$\text{B.}$ $\{x \mid-1 < x \leq 1\}$
$\text{C.}$ $\{0,1,2\}$
$\text{D.}$ $\{x \mid-1 < x < 4\}$
已知 $\frac{Z}{\mathrm{i}}=\mathrm{i}-1$, 则 $Z=$
$\text{A.}$ $1-i$
$\text{B.}$ $-i$
$\text{C.}$ $-1-i$
$\text{D.}$ $1$
求圆 $x^2+y^2-2 x+6 y=0$ 的圆心到 $x-y+2=0$ 的距离
$\text{A.}$ $2 \sqrt{3}$
$\text{B.}$ $2$
$\text{C.}$ $3 \sqrt{2}$
$\text{D.}$ $\sqrt{6}$
$(x-\sqrt{x})^4$ 的二项展开式中 $x^3$ 的系数为
$\text{A.}$ 15
$\text{B.}$ 6
$\text{C.}$ -4
$\text{D.}$ -13
① 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$, 则“ $(\vec{a}+\vec{b})(\vec{a}-\vec{b})=0$ ”是“ $\vec{a}=\vec{b}$ 或 $\vec{a}=-\vec{b}$ ”的 ________ 条件.
$\text{A.}$ 必要而不充分条件
$\text{B.}$ 充分而不必要条件
$\text{C.}$ 充分且必要条件
$\text{D.}$ 既不充分也不必要条件
已知 $f(x)=\sin \omega x, f\left(x_1\right)=-1, f\left(x_2\right)=1,\left|x_1-x_2\right|_{\text {min }}=\frac{\pi}{2}$, 则 $\omega=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
记水的质量为 $d=\frac{S-1}{\ln n}$, 并且 $d$ 越大, 水质量越好. 若 $S$ 不变, 且 $d_1=2.1, d_2=2.2$, 则 $n_1$与 $n_2$ 的关系为
$\text{A.}$ $n_1 < n_2$
$\text{B.}$ $n_1>n_2$
$\text{C.}$ 若 $S < 1$, 则 $n_1 < n_2$; 若 $S>1$, 则 $n_1>n_2$;
$\text{D.}$ 若 $S < 1$, 则 $n_1>n_2$; 若 $S>1$, 则 $n_1 < n_2$;
已知以边长为 4 的正方形为底面的四棱椎, 四条侧棱分别为 $4,4,2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2}$, 求该四棱椎的高.
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{C.}$ $2 \sqrt{3}$
$\text{D.}$ $\sqrt{3}$
已知 $\left(x_1, y_1\right),\left(x_2, y_2\right)$ 是 $y=2^x$ 上的点, 则下列正确的是
$\text{A.}$ $\log _2 \frac{y_1+y_2}{2}>\frac{x_1+x_2}{2}$
$\text{B.}$ $\log _2 \frac{y_1+y_2}{2} < \frac{x_1+x_2}{2}$
$\text{C.}$ $\log _2 \frac{y_1+y_2}{2}>x_1+x_2$
$\text{D.}$ $\log _2 \frac{y_1+y_2}{2} < x_1+x_2$
若集合 $\left\{y \mid y=x+t\left(x^2-x\right), 0 \leq t \leq 1,1 \leq x \leq 2\right\}$ 表示的图形中, 两点间最大距离为 $d$ 面积为 $S$,则
$\text{A.}$ $d=3, \quad S < 1$
$\text{B.}$ $d=3, S>1$
$\text{C.}$ $d=\sqrt{10}, \quad S < 1$
$\text{D.}$ $d=\sqrt{10}, \quad S>1$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $\alpha \in\left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right]$, 且 $\alpha$ 与 $\beta$ 的终边关于原点对称, 则 $\cos \beta$ 的最大值为
已知双曲线 $\frac{x^2}{4}-y^2=1$, 则过 $(3,0)$ 且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为
已知三个圆柱的体积为公比为 10 的等比数列. 第一个圆柱的直径为 $65 \mathrm{~mm}$, 第二、三个圆柱的直径为 $325 \mathrm{~mm}$, 第三个圆柱的高为 $230 \mathrm{~mm}$, 求前两个圆柱的高度分别为
已知 $M=\left\{k \mid a_k=b_k\right\}, a_n, b_n$ 不为常数列且各项均不相同, 下列正确的是
①$a_n, b_n$ 均为等差数列, 则 $M$ 中最多一个元素;
② $a_n, b_n$ 均为等比数列, 则 $M$ 中最多三个元素;
③ $a_n$ 为等差数列, $b_n$ 为等比数列, 则 $M$ 中最多三个元素;
④ $a_n$ 单调递增, $b_n$ 单调递减, 则 $M$ 中最多一个元素.
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
在 $\triangle A B C$ 中, $a=7, A$ 为钝角, $\sin 2 B=\frac{\sqrt{3}}{7} b \cos B$.
(1) 求 $\angle A$;
(2)从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知, 求 $\triangle A B C$ 的面积.
①$b=7$;
② $\cos B=\frac{13}{14}$;
③$c \sin A=\frac{5}{2} \sqrt{3}$.
注: 如果选择条件①、条件② 和条件③分别解答, 按第一个解答计分.
已知四棱椎 $P-A B C D, A D / / B C, A B=B C=1, A D=3, D E=P E=2, E$ 是 $A D$ 上一点, $P E \perp A D$.
(1) 若 $F$ 是 $P E$ 中点, 证明: $B F / /$ 平面 $P C D$.
(2) 若 $A B \perp$ 平面 $P E D$, 求面 $P A B$ 与面 $P C D$ 夹角的余弦值.
已知某险种的保费为 0.4 万元, 前 3 次出险每次赔付 0.8 万元, 第 4 次赔付 0.6 万元
在总体中抽样 100 单, 以频率估计概率:
(1) 求随机抽取一单，赔偿不少于 2 次的概率;
(2) (i) 毛利润是保费与赔偿金额之差. 设毛利润为 $X$, 估计 $X$ 的数学期望;
（ii）若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降 4\%, 已赔偿过的增加 $20 \%$. 估计保单下一保险期毛利润的数学期望.
已知椭圆方程 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$, 焦点和短轴端点构成边长为 2 的正方形, 过 $(0, t)$ $(t>\sqrt{2})$ 的直线 $l$ 与椭圆交于 $A, B, C(0,1)$, 连接 $A C$ 交椭圆于 $D$.
(1) 求椭圆方程和离心率;
(2) 若直线 $B D$ 的斜率为 0 , 求 $t$.
已知 $f(x)=x+k \ln (1+x)$ 在 $(t, f(t))(t>0)$ 处切线为 $I$.
(1)若切线 $l$ 的斜事 $k=-1$, 求 $f(x)$ 单调区间;
(2)证明: 切线 $I$ 不经过 $(0,0)$ :
(3) 已知 $k=1, A(t, f(t)), C(0, f(t)), O(0,0)$, 其中 $t>0$, 切线 $l$ 与 $y$ 轴交于点 $B$ 时. 当 $2 S_{\triangle A C O}=15 S_{\triangle A 3 O}$, 符合条件的 $A$ 的个数为?
(参考数据: $1.09 < \ln 3 < 1.10,1.60 < \ln 5 < 1.61,1.94 < \ln 7 < 1.95$ )
设集合 $M=\{(i, j, s, t) \mid i \in\{1,2\}, j \in\{3,4\}, d \in\{5,6\}, t \in\{7,8\}$ 且 $i+j+s+t$ 为偶数 $\}$.
对于给定有穷数列 $A: a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7, a_8$ 和序列 $\Omega: T_1, T_2, \cdots, T_s, T_k=\left(i_k, j_k, s_k, t_k\right) \in M$, 定义变换 $T$ : 将数列 $A$ 的第 $i_1, j_1, s_1, t_1$ 列加 1, 得到数列 $T_1(A)$; 将数列 $T_1(A)$ 的第 $i_2, j_2, s_2, t_2$ 列加 1 ,得到数列 $T_2 T_1(A), \ldots$; 重复上述操作, 得到数列 $T_s \cdots T_2 T_1$, 记为 $\Omega(A)$.
（1）设 $A: 1,3,2,4,6,3,1,9$ 和序列 $\Omega: T_1, T_2, T_3 ，
T_1=(1,3,5,7), T_2=(2,4,6,8), T_3=(1,3,5,7)$. 直接写出 $\Omega(A)$;
(2) 是否存在序列 $\Omega$, 使得 $\Omega(A): a_1+2, a_2+6, a_3+4, a_4+2, a_5+8, a_6+2, a_7+4, a_8+4$ ? 若存在, 请写出 $\Omega$;若不存在, 请说明理由;
(3) 若 $a_1+a_3+a_5+a_7$ 为偶数, 证明: “ $\Omega(A)$. 为常数列”的充要条件为 “ $a_1+a_2=a_3+a_4=a_5+a_6=a 7+a 8$ ”.