已知 $f(x)=x+k \ln (1+x)$ 在 $(t, f(t))(t>0)$ 处切线为 $I$.
(1)若切线 $l$ 的斜事 $k=-1$, 求 $f(x)$ 单调区间;
(2)证明: 切线 $I$ 不经过 $(0,0)$ :
(3) 已知 $k=1, A(t, f(t)), C(0, f(t)), O(0,0)$, 其中 $t>0$, 切线 $l$ 与 $y$ 轴交于点 $B$ 时. 当 $2 S_{\triangle A C O}=15 S_{\triangle A 3 O}$, 符合条件的 $A$ 的个数为?
(参考数据: $1.09 < \ln 3 < 1.10,1.60 < \ln 5 < 1.61,1.94 < \ln 7 < 1.95$ )