设集合 $M=\{(i, j, s, t) \mid i \in\{1,2\}, j \in\{3,4\}, d \in\{5,6\}, t \in\{7,8\}$ 且 $i+j+s+t$ 为偶数 $\}$.
对于给定有穷数列 $A: a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7, a_8$ 和序列 $\Omega: T_1, T_2, \cdots, T_s, T_k=\left(i_k, j_k, s_k, t_k\right) \in M$, 定义变换 $T$ : 将数列 $A$ 的第 $i_1, j_1, s_1, t_1$ 列加 1, 得到数列 $T_1(A)$; 将数列 $T_1(A)$ 的第 $i_2, j_2, s_2, t_2$ 列加 1 ,得到数列 $T_2 T_1(A), \ldots$; 重复上述操作, 得到数列 $T_s \cdots T_2 T_1$, 记为 $\Omega(A)$.
（1）设 $A: 1,3,2,4,6,3,1,9$ 和序列 $\Omega: T_1, T_2, T_3 ，
T_1=(1,3,5,7), T_2=(2,4,6,8), T_3=(1,3,5,7)$. 直接写出 $\Omega(A)$;
(2) 是否存在序列 $\Omega$, 使得 $\Omega(A): a_1+2, a_2+6, a_3+4, a_4+2, a_5+8, a_6+2, a_7+4, a_8+4$ ? 若存在, 请写出 $\Omega$;若不存在, 请说明理由;
(3) 若 $a_1+a_3+a_5+a_7$ 为偶数, 证明: “ $\Omega(A)$. 为常数列”的充要条件为 “ $a_1+a_2=a_3+a_4=a_5+a_6=a 7+a 8$ ”.