单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设 $B \subset A$ ，则下面正确的等式是
$\text{A.}$ $P(\overline{A B})=1-P(A)$ ；
$\text{B.}$ $P(\bar{B}-\bar{A})=P(\bar{B})-P(\bar{A})$ ；
$\text{C.}$ $P(B \mid A)=P(B)$ ；
$\text{D.}$ $P(A \mid \bar{B})=P(A)$
离散型随机变量 $X$ 的概率分布为 $P(X=k)=A \lambda^k(k=1,2, \cdots)$ 的充要条件是
$\text{A.}$ $\lambda=(1+A)^{-1}$ 且 $A>0$ ；
$\text{B.}$ $A=1-\lambda$ 且 $0 < \lambda < 1$ ；
$\text{C.}$ $A=\lambda^{-1}-1$ 且 $\lambda < 1$ ；
$\text{D.}$ $A>0$ 且 $0 < \lambda < 1$
设 10 个电子管的寿命 $X_i(i=1 \sim 10)$ 独立同分布，且 $D\left(X_i\right)=A(i=1 \sim 10)$ ，则 10 个电子管的平均寿命 $Y$ 的方差 $D(Y)=$
$\text{A.}$ $A$ ；
$\text{B.}$ $0.1 A$ ；
$\text{C.}$ $0.2 A$ ；
$\text{D.}$ $10 A$ ．
设 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 为总体 $X \sim N(0,1)$ 的一个样本， $\bar{X}$ 为样本均值，$S^2$ 为样本方差，则有
$\text{A.}$ $\bar{X} \sim N(0,1)$ ；
$\text{B.}$ $n \bar{X} \sim N(0,1)$ ；
$\text{C.}$ $\bar{X} / S \sim t(n-1)$ ；
$\text{D.}$ $\quad(n-1) X_1^2 / \sum_{i=2}^n X_i^2 \sim F(1, n-1)$ ．
设 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 为总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$（ $\mu$ 已知）的一个样本， $\bar{X}$ 为样本均值，则在总体方差 $\sigma^2$ 的下列估计量中，为无偏估计量的是
$\text{A.}$ $\quad \hat{\sigma_1^2}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$ ；
$\text{B.}$ $\quad \widehat{\sigma_2^2}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$ ；
$\text{C.}$ $\quad \hat{\sigma}_3^2=\frac{1}{n+1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2$ ；
$\text{D.}$ $\hat{\sigma}_4^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设随机事件 $A, B$ 互不相容，且 $P(A)=0.3, P(\bar{B})=0.6$ ，则 $P(B \mid \bar{A})=$
设随机变量 $X$ 服从 $(-2,2)$ 上的均匀分布，则随机变量 $Y=X^2$ 的概率密度函数为 $f_Y(y)=$
设随机变量 $(X, Y) \sim N\left(0,2^2 ; 1,3^2 ; 0\right)$ ，则概率 $P(|2 X-Y| \geq 1)=$
设 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_6\right)$ 是来自正态分布 $N(0,1)$ 的样本，$Y=\left(\sum_{i=1}^3 X_i\right)^2+\left(\sum_{i=4}^6 X_i\right)^2$当 $c=$ $\_\_\_\_$时，$c Y$ 服从 $\chi^2$ 分布，$E\left(\chi^2\right)=$
设某种清漆干燥时间 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$（单位：小时），取 $n=9$ 的样本，得样本均值和方差分别为 $\bar{X}=6, S^2=0.33$ ，则 $\mu$ 的置信度为 $95 \%$ 的单侧置信区间上限为
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
将 15 名新生随机地平均分配到三个班级中去，这 15 新生中有三名是优秀生,问
（1）每个班级各分配到一名优秀生的概率是多少？
（2） 3 名优秀生分配到同一班级的概率是多少？
设随机变量 $(X, Y)$ 的联合密度函数
$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}
A & 0 < x < 2,|y| < x \\
0 & \text { 其 他 }
\end{array}\right.
$$
求（1）常数 $A$ ；（2）条件密度函数 $f_{Y \mid X}(y \mid x)$ ；（3）讨论 $X$ 与 $Y$ 的相关性和独立性．
设总体 $X$ 的概率分布列为：
其中 $p(0 < p < 1 / 2)$ 是未知参数．利用总体 $X$ 的如下样本值：
$$
1, \quad 3, \quad 0, \quad 2, \quad 3, \quad 3, \quad 1, \quad 3
$$
求（1）$p$ 的矩估计值；（2）$p$ 的极大似然估计值．
某厂卡车运送防＂非典＂用品下乡，顶层装 10 个纸箱，其中 5 箱民用口罩、 2 箱医用口罩、 3 箱消毒棉花。到目的地时发现丢失 1 箱，不知丢失哪一箱。现从剩下 9 箱中任意打开 2箱，结果都是民用口罩，求丢失的一箱也是民用口罩的概率。
某彩电公司每月生产 20 万台背投彩电，次品率为 0.0005 ．检验时每台次品未被查出的概率为 0.01 ．试用中心极限定理求检验后出厂的彩电中次品数超过 3 台的概率．
某冶金实验室对锰的熔化点作了四次试验，结果分别为
$$
1269^0 \mathrm{C} \quad 1271^0 \mathrm{C} \quad 1263^0 \mathrm{C} \quad 1265^0 \mathrm{C}
$$
设数据服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，以 $\alpha=5 \%$ 的水平作如下检验：
（1）这些结果是否符合于公布的均值 $1260^{\circ} \mathrm{C}$ ？
（2）测定值的标准差是否不超过 $2^{\circ} \mathrm{C}$ ？须详细写出检验过程．
试证一元线性回归系数 $\hat{\beta}_1=\frac{l_{x y}}{l_{x x}}, \hat{\beta}_0=\bar{y}-\hat{\beta}_1 \bar{x}$ ，是 $\beta_1, \beta_0$ 无偏估计．其中 $l_{x y}=\sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)\left(y_i-\bar{y}\right), l_{x x}=\sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^2$