单选题 （共 20 题 ），每题只有一个选项正确
过点 $(0,-2)$ 与圆 $x^2+y^2-4 x-1=0$ 相切的两条直线的夹角为 $\alpha$ ，则 $\sin \alpha=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{15}}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{10}}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{6}}{4}$
若直线 $2 x+y-1=0$ 是圆 $(x-a)^2+y^2=1$ 的一条对称轴，则 $a=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ -1
已知圆 $x^2+y^2-6 x=0$ ，过点 $(1,2)$ 的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为 ()
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
直线 $l: x-y+1=0$ 与圆 $C: x^2+y^2-4 x-2 y+1=0$ 的位置关系是 $(\quad)$
$\text{A.}$ 相离
$\text{B.}$ 相切
$\text{C.}$ 相交且过圆心
$\text{D.}$ 相交但不过圆心
直线 $3 x+4 y=b$ 与圆 $x^2+y^2-2 x-2 y+1=0$ 相切，则 $b$ 的值是
$\text{A.}$ -2 或 12
$\text{B.}$ 2 或 -12
$\text{C.}$ -2 或 -12
$\text{D.}$ 2 或 12
直线 $x-\sqrt{3} y=0$ 截圆 $(x-2)^2+y^2=4$ 所得劣弧所对的圆心角是 $(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{2 \pi}{3}$
过点 $P(2,4)$ 作圆 $(x-1)^2+(y-1)^2=1$ 的切线，则切线方程为 ()
$\text{A.}$ $3 x+4 y-4=0$
$\text{B.}$ $4 x-3 y+4=0$
$\text{C.}$ $x=2$ 或 $4 x-3 y+4=0$
$\text{D.}$ $y=4$ 或 $3 x+4 y-4=0$
直线 $k x-y+2-k=0$ 与圆 $x^2+y^2-2 x-8=0$ 的位置关系为（）
$\text{A.}$ 相交、相切或相离
$\text{B.}$ 相交或相切
$\text{C.}$ 相交
$\text{D.}$ 相切
已知 $M(a, b)(a b \neq 0)$ 是圆 $O: x^2+y^2=r^2$ 内一点，现有以 $M$ 为中点的弦所在直线 $m$ 和直线 $l: a x+b y=r^2$ ，则（ ）
$\text{A.}$ $m / / l$ 且 $l$ 与圆相交
$\text{B.}$ $m \perp l$ 且 $l$ 与圆相离
$\text{C.}$ $m / / l$ 且 $l$ 与圆相离
$\text{D.}$ $m \perp l$ 且 $l$ 与圆相交
直线 $y=k x-1$ 与圆 $C:(x+3)^2+(y-3)^2=36$ 相交于 $A, B$ 两点，则 $|A B|$ 的最小值为
$\text{A.}$ 6
$\text{B.}$ $2 \sqrt{11}$
$\text{C.}$ 12
$\text{D.}$ 16
设圆 $x^2+y^2-2 x-2 y-2=0$ 的圆心为 $C$ ，直线 $l$ 过 $(0,3)$ 与圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点，若 $|A B|=2 \sqrt{3}$ ，则直线 $l$的方程为（）
$\text{A.}$ $3 x+4 y-12=0$ 或 $4 x-3 y+9=0$
$\text{B.}$ $3 x+4 y-12=0$ 或 $x=0$
$\text{C.}$ $4 x-3 y+9=0$ 或 $x=0$
$\text{D.}$ $3 x-4 y+12=0$ 或 $4 x+3 y+9=0$
若 $P(0,1)$ 为圆 $x^2+2 x+y^2-15=0$ 的弦 $M N$ 的中点，则直线 $M N$ 的方程为 ()
$\text{A.}$ $y=-x+1$
$\text{B.}$ $y=x+1$
$\text{C.}$ $y=2 x+1$
$\text{D.}$ $y=-2 x+1$
直线 $x+y=2$ 与圆 $(x-2)^2+(y-3)^2=6$ 交于 $\mathrm{A} 、 B$ 两点，则 $|A B|=(\quad)$
$\text{A.}$ $3 \sqrt{2}$
$\text{B.}$ $\sqrt{6}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{6}}{2}$
$\text{D.}$ $2 \sqrt{3}$
若直线 $x-y+2=0$ 将圆 $(x-a)^2+(y-3)^2=9$ 分成的两段圆弧长度之比为 1：3，则实数 $a$ 的值为 ()
$\text{A.}$ -4
$\text{B.}$ -4 或 2
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ -2 或 4
在平面直角坐标系 $X O Y$ 中，过直线 $x+y-2=0$ 上任一点 $P$ 做圆 $O: x^2+y^2=1$ 的两条切线，切点分别为 $\mathrm{A} 、 B$ ，则下列说法正确的是（ ）
$\text{A.}$ 四边形 $O A P B$ 为正方形时，点 $P$ 的坐标为 $(1,1)$
$\text{B.}$ 四边形 $O A P B$ 面积的最小值为 1
$\text{C.}$ $\angle A P B$ 不可能为针角
$\text{D.}$ 当 $\triangle P A B$ 为等边三角形时，点 $P$ 的坐标为 $(2,0)$
直线 $l: a x+y-1=0$ 被圆 $C: x^2+y^2+6 x-4 y-3=0$ 截得的最短弦长为（ ）
$\text{A.}$ $\sqrt{6}$
$\text{B.}$ $2 \sqrt{5}$
$\text{C.}$ $4 \sqrt{2}$
$\text{D.}$ $2 \sqrt{6}$
已知圆：$x^2+y^2=4$ ，过直线 $l: 2 x+y=10$ 上的一点 $P$ 作圆 $O$ 的一条切线，切点为 $M$ ，则 $|P M|$ 的最小值为
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ 5
$\text{C.}$ $\sqrt{7}$
$\text{D.}$ $2 \sqrt{2}$
已知圆 $x^2+y^2+2 x-2 y+a=0$ 截直线 $x+y+2=0$ 所得弦的长度为 4 ，则实数 $a$ 的值是
$\text{A.}$ -8
$\text{B.}$ -6
$\text{C.}$ -4
$\text{D.}$ -2
已知圆 $O: x^2+y^2=9$ ，直线 $I: a x+b y=a+2 b(a, b \in \mathbf{R})$ 与两坐标轴交点分别为 $M, N$ ，当直线 $I$ 被圆 $O$截得的弦长最小时，$|M N|=()$
$\text{A.}$ $\frac{3 \sqrt{5}}{2}$
$\text{B.}$ $2 \sqrt{5}$
$\text{C.}$ $\frac{5 \sqrt{5}}{2}$
$\text{D.}$ $3 \sqrt{5}$
已知 $P, Q$ 为圆 $x^2+y^2=4$ 上的两个动点，点 $M(-1,1)$ ，且 $P M \perp Q M$ ，则坐标原点 $O$ 到直线 $P Q$ 的距离的最大值为（ ）
$\text{A.}$ $\sqrt{3}$
$\text{B.}$ $\frac{2+\sqrt{3}}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$
$\text{D.}$ 2
多选题 （共 4 题 ），每题有多个选项正确
已知直线 $l: a x+b y-r^2=0$ 与圆 $C: x^2+y^2=r^2$ ，点 $A(a, b)$ ，则下列说法正确的是
$\text{A.}$ 若点 $A$ 在圆 $C$ 上，则直线 $l$ 与圆 $C$ 相切
$\text{B.}$ 若点 $A$ 在圆 $C$ 外，则直线 $l$ 与圆 $C$ 相离
$\text{C.}$ 若点 $A$ 在直线 $l$ 上，则直线 $l$ 与圆 $C$ 相切
$\text{D.}$ 若点 $A$ 在圆 $C$ 内，则直线 $l$ 与圆 $C$ 相离
已知直线 $l: a x+b y-r^2=0$ 与圆 $C: x^2+y^2=r^2$, 点 $A(a, b)$ ，则下列说法正确的是 ()
$\text{A.}$ 若点 $A$ 在圆 $C$ 上，则直线 $l$ 与圆 $C$ 相切
$\text{B.}$ 若点 $A$ 在圆 $C$ 内，则直线 $l$ 与圆 $C$ 相离
$\text{C.}$ 若点 $A$ 在圆 $C$ 外，则直线 $l$ 与圆 $C$ 相离
$\text{D.}$ 若点 $A$ 在直线 $l$ 上，则直线 $l$ 与圆 $C$ 相切
关于直线 $l: y=k x+m$ 与圆 $C: x^2+y^2=4$ ，下列说法正确的是（ ）
$\text{A.}$ 若 $l$ 与圆 $C$ 相切，则 $m^2-4 k$ 为定值
$\text{B.}$ 若 $m^2-k^2=1$ ，则 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦长为定值
$\text{C.}$ 若 $l$ 与圆 $C$ 有公共点，则 $-2 \leq m \leq 2$
$\text{D.}$ 若 $k=m+1$ ，则 $l$ 与圆 $C$ 相交
古希腊数学家阿波罗尼斯发现如下结论：＂平面内到两个定点 $\mathrm{A}, ~ B$ 的距离之比为定值 $m(m \neq 1)$ 的点的轨迹是圆＂．在平面直角坐标系中，已知点 $A(-2,1), B(1,1)$ ，点 $P$ 满足 $\frac{P A}{P B}=\sqrt{2}$ ，设点 $P$ 的轨迹为圆 $M$ ，点 $M$ 为圆心，则下列说法正确的是（ ）
$\text{A.}$ 圆 $M$ 的方程为 $(x-4)^2+(y-1)^2=16$
$\text{B.}$ 直线 $l_1: x+y+c=0$ 与圆 $M$ 相交于 $D, G$ 两点，且 $D G=2 \sqrt{10}$ ，则 $c=-1$ 或 -9
$\text{C.}$ 若点 $Q$ 是直线 $l_2: x+y+5=0$ 上的一个动点，过点 $Q$ 作圆 $M$ 的两条切线，切点分别为 $E, F$ ，则四边形 $Q E M F$ 的面积的最小值为 24
$\text{D.}$ 直线 $l_3: a x+b y-1=0(a>0, b>0)$ 始终平分圆 $M$ 的面积，则 $\frac{a(b+1)+b(a+1)}{a b}$ 的最小值是 11
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若双曲线 $y^2-\frac{x^2}{m^2}=1(m>0)$ 的渐近线与圆 $x^2+y^2-4 y+3=0$ 相切，则 $m=$
设点 $A(-2,3), B(0, a)$ ，若直线 $A B$ 关于 $y=a$ 对称的直线与圆 $(x+3)^2+(y+2)^2=1$ 有公共点，则 $a$ 的取值范围是
若斜率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 的直线与 $x$ 轴交于点 $M$ ，与圆 $C:(x-2)^2+y^2=4$ 相交于点 $A, B$ 两点，若 $|A B|=2 \sqrt{2}$ ，则 $|M C|=$ $\qquad$ ．
已知圆 $C:(x-1)^2+y^2=16$ ，若直线 $l$ 与圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点，则 $\triangle A B C$ 的面积最大值为 $\qquad$ ．
解答题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知直线 $l: y=k x+1$ ，圆 $C:(x-1)^2+(y+1)^2=12$ ．试证明：不论 $k$ 为何实数，直线 $l$ 和圆 $C$ 总有两个交点．
已知点 $P(\sqrt{2}+1,2-\sqrt{2})$ ，点 $M(3,1)$ ，圆 $C:(x-1)^2+(y-2)^2=4$ ．
（1）求过点 $P$ 的圆 $C$ 的切线方程；
（2）求过点 $M$ 的圆 $C$ 的切线方程，并求出切线长．