单选题 （共 1 题 ），每题只有一个选项正确
如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $A D$ 上一点，$A E=2 E D$ ，连接 $B E$ 交 $A C$ 于点 $G$ ，延长 $B E$ 交 $C D$ 的延长线于点 $F$ ，则 $\frac{B G}{G F}$ 的值为
$\text{A.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{3}{4}$
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
如图在平行四边形 $A B C D$ 中，$E$ 是 $C D$ 的中点，$F$ 是 $A E$ 的中点，$C F$ 交 $B E$ 于点 $G$ ，若 $B E=8$ ，则 $G E=$
解答题 （共 13 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
如图，在 $\triangle A B C$ 中，点 $D$ 在边 $A B$ 上，点 $E$ 、点 $F$ 在边 $A C$ 上，且 $D E / / B C, \frac{A F}{F E}=\frac{A E}{E C}$ ．
（1）求证：$D F / / B E$ ；
（2）如且 $A F=2, E F=4, A B=6 \sqrt{3}$ ．求证 $\triangle A D E \sim \triangle A E B$ ．
如图，在 $Rt \triangle A B C$ 中，$\angle A C B=90^{\circ}, A C=B C=6, D$ 是 $A B$ 上一点，点 $E$ 在 $B C$ 上，连接 $C D, A E$ 交于点 $F$ ，若 $\angle C F E=45^{\circ}, B D=2 A D$ ，则 $C E=$ $\qquad$ ．
如图，在菱形 $A B C D$ 中，$\angle A D E 、 \angle C D F$ 分别交 $B C 、 A B$ 于点 $E 、 F$ ， $D F$ 交对角线 $A C$ 于点 $M$ ，且 $\angle A D E=\angle C D F$ ．
（1）求证：$C E=A F$ ；
（2）连接 $M E$ ，若 $\frac{C E}{B E}=\frac{C D}{C E}, A F=2$ ，求 $M E$ 的长．
如图，在 $\triangle A B C$ 中，$B D 、 C E$ 分别是 $A C 、 A B$ 边上的高．求证：$\triangle A C B \backsim \triangle A E D$ ．
Rt $\triangle A B C$ 中，$\angle C=90^{\circ}, A C=20_{ cm }, B C=15 cm$ ，现有动点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿 $A C$ 向点 $C$ 方向运动，动点 $Q$ 从点 $C$ 出发，沿线段 $C B$ 也向点 $B$ 方向运动，如果点 $P$ 的速度是 $4 cm / s$ ，点 $Q$ 的速度是 $2 cm / s$ ，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为 $t$ 秒．
（1）求运动时间为多少秒时，$P 、 Q$ 两点之间的距离为 10 cm ？
（2）若 $\triangle C P Q$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 关于 $t$ 的函数关系式．
（3）当 $t$ 为多少时，以点 $C, P, Q$ 为顶点的三角形与 $\triangle A B C$ 相似？
如图，$\triangle A B C$ 中，点 $D$ 在 $A C$ 边上，且 $\angle B D C=90^{\circ}+\frac{1}{2} \angle A B D$ ．
（1）求证：$D B=A B$ ；
（2）点 $E$ 在 $B C$ 边上，连接 $A E$ 交 $B D$ 于点 $F$ ，且 $\angle A F D=\angle A B C, B E=C D$ ，求 $\angle A C B$ 的度数．
（3）在（2）的条件下，若 $B C=16, \triangle A B F$ 的周长等于 30 ，求 $A F$ 的长．
如图，$A D$ 与 $B C$ 交于 $O$ 点，$\angle A=\angle C, B O=4, D O=2, A B=3$ ，求 $C D$ 的长．
如图 1，在 Rt $\triangle A B C$ 中，$\angle A C B=90^{\circ}, A C=B C=1, D$ 为 $A B$ 上一点，连接 $C D$ ，分别过点 $A 、 B$ 作 $A N \perp C D$ ， $B M \perp C D$ ．
（1）求证：$A N=C M$ ；
（2）若点 $D$ 满足 $B D: A D=2: 1$ ，求 $D M$ 的长；
（3）如图 2，若点 $E$ 为 $A B$ 中点，连接 $E M$ ，设 $\sin \angle N A D=k$ ，求证：$E M=k$ ．
定义：如图，若点 $P$ 在三角形的一条边上，且满足 $\angle 1=\angle 2$ ，则称点 $P$ 为这个三角形的＂理想点＂．
（1）如图（1），若点 $D$ 是 $\triangle A B C$ 的边 $A B$ 的中点，$A C=2 \sqrt{2}, A B=4$ ，试判断点 $D$ 是不是 $\triangle A B C$ 的＂理想点＂，并说明理由；
（2）如图（2），在 Rt $\triangle A B C$ 中，$\angle C=90^{\circ}, A B=5, A C=4$ ，若点 $D$ 是 $\triangle A B C$ 的＂理想点＂，求 $C D$ 的长．
如图，$\triangle A B C$ 中，点 $D$ 在 $A B$ 上，$\angle B=2 \angle B C D$ ，若 $B D=2, B C=5$ ，则线段 $C D$ 的长为 $\qquad$
如图，在 $\triangle A B C$ 中，$D$ 为 $B C$ 边上的一点，且 $A C=2 \sqrt{6}, C D=4, B D=2$ ，求证：$\triangle A C D \sim \triangle B C A$ ．
如图，在 $\triangle A B C$ 中，$\angle A C B=90^{\circ}, C D$ 为 $A B$ 边上的高，$\angle A B C$ 的平分线 $B E$ 分别交 $C D, A C$ 于点 $F, E$ ．
（1）求证：$\triangle C B F \sim \triangle A B E$ ；
（2）若 $A B=10, B C=6$ ，求 $\triangle C B F$ 的面积，
（3）若 $B C=A D$ ，请直接写出 $\frac{C E}{A E}$ 的值为 $\qquad$ ．
如图：在矩形 $A B C D$ 中，$A B=6 m, B C=8 m$ ，动点 $P$ 以 $2 m / s$ 的速度从 $A$点出发，沿 $A C$ 向 $C$ 点移动，同时动点 $Q$ 以 $1 m / s$ 的速度从点 $C$ 出发，沿 $C B$ 向点 $B$ 移动，设 $P 、 Q$ 两点移动的时间为 $t$ 秒 $(0 < t < 5)$ ．
（1）$A P=$ $\qquad$ $m, P C=$ $\qquad$ $m, C Q=$ $\qquad$ $m$（用含 $t$ 的代数式表示）
（2）$t$ 为多少秒时，以 $P 、 Q 、 C$ 为顶点的三角形与 $\triangle A B C$ 相似？
（3）在 $P 、 Q$ 两点移动过程中，四边形 $A B Q P$ 与 $\triangle C P Q$ 的面积能否相等？若能，求出此时 $t$ 的值；若不能，请说明理由．
