解答题 （共 13 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
问下列矩阵哪个可以对角化：
$$
A =\left[\begin{array}{ccc}
-3 & 1 & -1 \\
-7 & 5 & -1 \\
-6 & 6 & -2
\end{array}\right] \quad B =\left[\begin{array}{lll}
1 & -3 & 3 \\
3 & -5 & 3 \\
6 & -6 & 4
\end{array}\right]
$$
设 $X =\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)^{ T } \neq 0 , Y =\left(y_1, y_2, \cdots, y_n\right)^{ T } \neq 0$ 且 $X ^{ T } Y$ $=\sum_{i=1}^n x_i y_i=0$ ，又 $A =\left[\begin{array}{cccc}x_1 y_1 & x_1 y_2 & \cdots & x_1 y_n \\ x_2 y_1 & x_2 y_2 & \cdots & x_2 y_n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_n y_1 & x_n y_2 & \cdots & x_n y_n\end{array}\right]$ ．求 $A$ 的全部特征值并证明 $A$ 不能相似于对角阵．
已知 $n$ 阶矩阵
$$
\begin{aligned}
&A =\left[\begin{array}{cccc}
a & a & \cdots & a \\
a & a & \cdots & a \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a & a & \cdots & a
\end{array}\right](a \neq 0)\\
&\text { 问 } A \text { 是否可对角化？若能，求出相似变换矩阵 } P \text { ，使 } P ^{-1} A P \text { 成为对角阵．}
\end{aligned}
$$
设 3 阶矩阵 $A$ 有特征值 $\lambda_1=1, \lambda_2=2, \lambda_3=3$ ．其对应的特征向量分别是 $X _1=(1,1,1)^{ T }, X _2=(1,2,4)^{ T }, X _3=(1,3,9)^{ T }$ 。另向量 $\beta =(1,1$ ， $3)^{ T }$ ，求 $A ^n \beta =$ ？
求矩阵 $A =\left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right]$ 的 5 次幂．
设 $A$ 是 $n$ 阶幕等矩阵（即 $A ^2= A$ ）．$r( A )=r < n$ 试证：
$$
A \sim\left[\begin{array}{ll}
I_r & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right]
$$
已知 3 阶矩阵 $A$ 的三个特征值为 $-2,-2,4$ ． $A$ 的属于它们的特征向量分别为 $X _1=(1,1,0)^{ T }, X _2=(1,0,-1)^{ T }, X _3=(1,1,2)^{ T }$ 。求矩阵 $A$ ．
求正交矩阵 $T$ ，使 $T^{-1} A T$ 成为对角矩阵：（1）$A=$
$$
\left[\begin{array}{rrr}
1 & -2 & 2 \\
-2 & -2 & 4 \\
2 & 4 & -2
\end{array}\right], \quad \text { (2) } A =\left[\begin{array}{rrrr}
1 & -1 & 0 & 0 \\
-1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & -1 & 1
\end{array}\right] .
$$
3 阶实对称矩阵 $A$ 的特征值分别为 $1,2,3$ ． $A$ 的属于 1,2 的特征向量分别为 $\alpha _1=(-1,-1,1)^{ T }, \alpha _2=(1,-2,-1)^{ T }$ 。
（1）求 $A$ 的属于特征值为 3 的特征向量．
（2）求矩阵 $A$ ．
已知矩阵 $A =\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & a\end{array}\right], B =\left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]$ ，且 $A$ 与 $B$ 相似．
（1）求 $a, b$ 的值．
（2）求一个正交矩阵 $T$ ，使 $T ^{-1} A T = B$ ．
已知 5 阶矩阵
$$
A =\left[\begin{array}{lllll}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 1
\end{array}\right], B =\left[\begin{array}{lllll}
5 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right],
$$
试问 $A$ 与 $B$ 是否相似？
设 $A , B$ 都是 $n$ 阶实对称矩阵，且有正交矩阵 $T$ ，使 $T ^{-1} A T$ 及 $T ^{-1} B T$ 都是对角阵。试证： $A B$ 也是实对称阵。
设 $A$ 是实对称阵，且 $A$ 的所有特征值 $\lambda_i>0(i=1,2, \cdots, n)$ ．证明存在实对称矩阵 $B$ ，有 $B ^2= A$