解答题 （共 24 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设有一个函数 $F(x)$ 为
$$
F(x)= \begin{cases}e^x & x < 0 \\ 1-e^{-x} & x \geqslant 0\end{cases}
$$
问此函数是否可作为某随机变量的分布函数？
某射手有 5 发子弹，射击的命中率为 0.9 ．若命中了就停止射击，若没命中就继续下去，一直射到子弹耗尽，求耗用子弹数的概率分布．
不断地抛掷一枚均匀的硬币，如果每次出现正面计 1 分，出现反面则扣 1 分，以 $X$ 表示抛掷硬币 5 次时的得分，求 $X$ 的概率分布。
甲，乙二人分别独立射击同一目标一弹，各一次，甲击中的概率为 $p_1$ ，乙击中的概率为 $p_2$ ，求目标受弹数的概率分布和分布函数．
现有 10 张壹佰元的人民币，已知其中混有 2 张假币．从中取出 2 张，如果正好将 2 张假币取出来算是成功一次。某人这样做了 10 次，成功 4 次，设各次成功与否相互独立，试问此人对假币有没有一定的鉴别能力？
在一部篇幅很大的书籍中，发现只有 $13.5 \%$ 的页数没有印刷错误．如果我们假定每页的错字个数是服从普阿松分布的随机变量，求正好有一个错字的页数的百分比。
设一个人在一年中患感冒的次数是服从参数为 $\lambda=5$ 的普阿松分布的随机变量，假定正在销售的一种新药，对 $75 \%$ 的人来说可将上述参数减小为 3 ，而另外 $25 \%$ 的人则是无效的．若某人试用此药一年，在试用期间患了两次感冒，问此药对他有效的概率。
建一水坝，预定使用 100 年，问此 100 年中发生＂千年一遇的洪水＂的概率是多少？
某厂产品的不合格品率为 0.03 ，现在要把产品装箱，若要以不少于 0.9 的概率保证每箱中至少有 100 个合格品，则每箱至少应装多少个产品？
一个盒中装有 $n$ 只晶体管，其中有一只次品．每次从中任取一只，直到取出次品晶体管为止，求在下列条件下所取的次数 $X$ 的概率分布：
（1）每次取后不放回；
（2）每次取后放回．
13．（1）在一次抽取中，取得次品数 $X_1$ 的概率分布；
（2）采用不放回地抽取，在 $n$ 次抽取中 $(n < M)$ 取得次品数 $X_2$ 的概率分布；
（3）采用有放回地抽取，在 $n$ 次抽取中 $(n < M)$ 取得次品数 $X_3$ 的概率分布；
（4）采用有放回地抽取，首次抽得次品时已抽取的次数 $X_4$ 的概率分布．
设随机变量 $X$ 的密度函数为
$$
p(x)= \begin{cases}A x e^{-x} & x>0 \\ 0 & x \leqslant 0\end{cases}
$$
（1）试确定常数 $A$ ；
（2）求分布函数 $F(x)$ ；
（3）求 $P(X>1)$ ．
20．某城市每天用电量不超过百万度，以随机变量 $X$ 表示每天的耗电率（即用电量除以百万度），已知 $X$ 的密度函数为
$$
p(x)= \begin{cases}12 x(1-x)^2 & 0 < x < 1 \\ 0 & \text { 其他 }\end{cases}
$$
若该城市每天的供电量仅 80 万度，求供电量不够需要的概率是多少？如每天的供电量为 90 万度，那么供电量不够需要的概率又为多少？
一架轰炸机共带三颗炸弹去轰炸敌方的铁路。如果炸弹落在铁路两侧 40 米以内，就可以使铁路交通遭到破坏。已知在一定投弹准确度下，炸弹落地点与铁路距离 $X$ 的密度函数为
$$
p(x)= \begin{cases}\frac{100+x}{10000} & -100 < x \leqslant 0 \\ \frac{100-x}{10000} & 0 < x \leqslant 100 \\ 0 & |x|>100\end{cases}
$$
如果三颗炸弹全部使用，问敌方铁路交通被破坏的概率是多少？
到某服务单位办事总要排队等待．设等待时间 $T$ 是服从参数为 $\frac{1}{10}$ 的指数分布。某人到此办事，等待时间若超过 15 分钟，他就愤然离去．设此人一个月要去该处 10 次．求：
（1）最多有 2 次愤然离去的概率；
（2）愤然离去的次数占多数的概率．
假设一大型设备在任何长为 $t$ 的时间内发生故障的次数 $N(t)$服从参数为 $\lambda t$ 的普阿松分布。若以 $T$ 表示相邻两次故障之间的时间间隔．求：
（1）$T$ 的概率分布；
（2）一次故障修复之后，设备无故障运行 8 小时的概率；
（3）在设备已经无故障运行 $t_0$ 小时的情况下，再无故障运行 8 小时的概率
设 $X \sim N(5,4)$ ，试求 $a, b$ 使得：
（1）$P(X < a)=0.9$ ；
（2）$P(|X-5|>b)=0.01$ ．
假设某科统考的成绩 $X$ 近似服从正态分布 $N\left(70,10^2\right)$ 。已知第 100 名的成绩为 60 分，问第 20 名的成绩约为多少？
某单位招聘 155 人，按考试成绩录用，共有 526 人报名。假设报名者的考试成绩 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，已知 90 分以上的有 12 人， 60 分以下的有 83 人，若从高分到低分依次录取。某人成绩为 78 分，问此人能否被录取？
测量某距离时总发生随机误差 $X$（单位： cm ），已知 $X$ 的密度函数为
$$
p(x)=A e^{-\frac{(x-20)^2}{3200}} \quad-\infty < x < +\infty
$$
（1）确定常数 $A$ ；
（2）求 3 次独立测量中至少有一次误差绝对值不超过 30 cm 的概率．
已知X分布函数
$$
F(x)= \begin{cases}0 & x < -1 \\ \frac{1}{3} & -1 \leqslant x < 0 \\ \frac{1}{2} & 0 \leqslant x < 1 \\ \frac{2}{3} & 1 \leqslant x < 2 \\ 1 & x \geqslant 2\end{cases}
$$
（1）求 $Y=\left(\sin \frac{\pi}{6} X\right)^2$ 的分布函数；
（2）求 $P(0 \leqslant Y < 0.5)$ ．
设 $X$ 的密度函数为
$$
p_X(x)= \begin{cases}6 x(1-x) & 0 < x < 1 \\ 0 & \text { 其他 }\end{cases}
$$
求 $Y=2 X+1$ 的密度函数．
设随机变量 $X$ 的密度函数为
$$
p_X(x)= \begin{cases}2 x^3 e^{-x^2} & x>0 \\ 0 & x \leqslant 0\end{cases}
$$
分别求出 $Y=X^2$ 与 $Y=\ln X$ 的密度函数．
设随机变量 $X$ 的密度函数为 $p_X(x)$ ，试求随机变量函数 $Y=|X|$ 的分布函数与密度函数．