单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设 $\alpha_1=\sqrt{x+\sqrt{x}}, \alpha_2=\sqrt[3]{x} \tan (x+\sqrt{x}), \alpha_3=1-\cos \sqrt{x}$. 当 $x \rightarrow 0^{+}$时, 以上 3 个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$.
$\text{B.}$ $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_2$.
$\text{C.}$ $\alpha_2, \alpha_1, \alpha_3$.
$\text{D.}$ $\alpha_3, \alpha_1, \alpha_2$.
设函数 $y(x)=\lim _{t \rightarrow 0}\left[1-\frac{\ln (1-t)}{x^2}\right]^{\frac{x}{\operatorname{lin} t}}$, 下列关于曲线 $y=y(x)$ 的渐近线的说法中, 正确的是
(1) 该曲线无渐近线.
(2) 该曲线有铅直渐近线.
(3) 该曲线有水平渐近线.
(4) 该曲线有斜渐近线.
$\text{A.}$ (2).
$\text{B.}$ (3).
$\text{C.}$ (2)(3).
$\text{D.}$ (2)(4).
设 $p \geqslant 0$, 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \int_0^{\frac{1}{n}} \frac{x^p}{1+x^q} \mathrm{~d} x$ 发散, 则
$\text{A.}$ $p>0, q \geqslant 0$.
$\text{B.}$ $p>0, q < 0$.
$\text{C.}$ $p=0, q \geqslant 0$.
$\text{D.}$ $p=0, q < 0$.
设函数 $f(x, y)= \begin{cases}(x y+a|x|+b \sqrt{|y|}) \arctan \frac{1}{|x|+y^2}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0),\end{cases}$ 则下列说法中,错误的是
$\text{A.}$ 函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处的连续性与 $a, b$ 的取值无关.
$\text{B.}$ 函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处的偏导数是否存在与 $a, b$ 的取值无关.
$\text{C.}$ 函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处的可微性与 $a, b$ 的取值有关.
$\text{D.}$ 若函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处的偏导数存在, 则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微.
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n(n \geqslant 2)$ 阶矩阵, $\boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶可逆矩阵, $\boldsymbol{b}$ 为 $n$ 维列向量. 下列命题中, 错误的 是
$\text{A.}$ 若方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 有解, 则方程组 $\boldsymbol{A B x}=\boldsymbol{b}$ 有解.
$\text{B.}$ 若方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 有解, 则方程组 $\boldsymbol{B A x}=\boldsymbol{b}$ 有解.
$\text{C.}$ 若方程组 $\boldsymbol{A x}=0$ 有非零解, 则方程组 $\boldsymbol{A B x}=0$ 有非零解.
$\text{D.}$ 若方程组 $\boldsymbol{A x}=0$ 有非零解, 则方程组 $\boldsymbol{B A x}=0$ 有非零解.
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶正交矩阵,且 $\boldsymbol{A}^3=\boldsymbol{E}$. 若 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 均为非零向量,且 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}$ 线性无关, $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{A} \alpha, \boldsymbol{A}^2 \boldsymbol{\alpha}$ 线 性相关, $\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{\top}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}=0$, 则
$\text{A.}$ $\boldsymbol{\beta}$ 与 $A \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{A}^2 \boldsymbol{\alpha}$ 均正交.
$\text{B.}$ $\boldsymbol{\beta}$ 与 $A \beta$ 正交,不与 $A^2 \alpha$ 正交.
$\text{C.}$ $A \beta$ 与 $\alpha, A \alpha$ 均正交.
$\text{D.}$ $A \beta$ 与 $\alpha$ 正交, 不与 $A \alpha$ 正交.
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+x_2^2+2 x_3^2+2 a x_1 x_3-2 x_2 x_3$. 若二次曲面 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=1$ 上的 点到坐标原点的距离有最大值, 则 $a$ 可能为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设相互独立的随机变量 $X$ 和 $Y$ 的分布函数分别为 $F_X(x)$ 和 $F_Y(y)$. 若这两个函数各有 2 个 间断点, 则随机变量 $X Y$ 的分布函数的间断点的个数不可能是
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设二维随机变量 $(X, Y)$ 服从二维正态分布 $N\left(\mu_1, \mu_2 ; \sigma^2, 1 ; \rho\right)$, 则随机变量 $X+Y$ 与 $X-Y$ 是 否相关
$\text{A.}$ 仅取决于 $\rho$ 的值.
$\text{B.}$ 仅取决于 $\sigma^2$ 的值.
$\text{C.}$ 取决于 $\rho, \sigma^2$ 的值.
$\text{D.}$ 以上说法均不正确.
在一盒骰子中既有正常的均匀骰子, 也有灌铅骰子. 灌铅骰子掷出六点的概率为 0.9 ,掷出其余五个点数的概率相等.
从盒中取一枚骰子检验. 原假设 $H_0$ : 这是一枚均匀骰子. 备择假设 $H_1$ : 这是一枚灌铅骰子. 检验法则为, 连续投郑这枚骰子 $n$ 次, 若连续郑出 $n$ 个六点, 则拒绝 $H_0$, 否则接受 $H_0$. 下列命题中, 正确 的是
$\text{A.}$ 当 $n=2$ 时,犯第一类错误的概率是 0.21 .
$\text{B.}$ 当 $n=2$ 时, 犯第二类错误的概率是 0.21 .
$\text{C.}$ 若 $n$ 越大, 则犯第二类错误的概率就越小.
$\text{D.}$ 当 $n=3$ 时, 此检验法则是一个显著性水平为 0.01 的检验法则.
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k-\sin ^2 n}=$
设函数 $f(x, y)=\mathrm{e}^{x+y}$, 点 $(a, b)$ 为圆周 $x^2+y^2=1$ 上的动点, $D$ 为中心在原点的正方形. 若要使积分 $I(a, b)=\iint_D f(a+x, b+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 最大, 则 $(a, b)$ 应取
设数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_0=1, a_{n+1}=\sin a_n$, 则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n+\frac{1}{n}\right) x^n$ 的收敛域为
在定向为逆时针方向的椭圆 $C: \frac{1}{4} x^2+y^2=1$ 上选取一段曲线 $L$, 使得曲线积分 $\int_L \mathrm{~d} x+2 \mathrm{~d} y$ 最大, 则这个最大值为
设 $\boldsymbol{A}$ 为可相似对角化的 4 阶矩阵, $\boldsymbol{\alpha}$ 为 4 维非零列向量. 若 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{A}^2 \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{A}^3 \boldsymbol{\alpha}$ 线性无关, 则 $\boldsymbol{A}$ 的不同特征值的个数为
设点 $P$ 的坐标 $(X, Y)$ 服从单位圆盘 $D: x^2+y^2 \leqslant 1$ 上的均匀分布, 以点 $P$ 为圆心, 作能够 包含于 $D$ 的最大圆, 记此圆的最高点的纵坐标为 $H$, 则 $H$ 的数学期望为
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(x)= \begin{cases}x^a \sin \frac{1}{x}, & x>0, \\ b, & x=0, \\ \frac{1-\cos x}{(-x)^{a-2}}, & x < 0\end{cases}$ 有连续的导函数, 求 a 的取值范围.
设非负函数 $y(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内可导且单调减少. 记曲线 $y=y(x)$ 上任意一点 $P$ 处的切 线与 $x$ 轴, $y$ 轴的交点分别为 $P_x, P_y$. 若 $\left|P P_x\right|=2\left|P P_y\right|$, 且曲线上横坐标为 1 的点处的切线斜率为 -1 , 求:
(I) 曲线 $y=y(x)$ 的方程;
(II) 曲线 $y=y(x)$ 在点 $(2, y(2))$ 处的曲率半径.
设 $\Sigma$ 为曲面 $4 x^2+y^2+z^2=1(z \geqslant 0)$ 的下侧, 计算曲面积分
$$
I=\iint_{\Sigma}(x+2 y) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(x^2-\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .
$$
设 $a$ 为常数, 反常积分 $\int_0^{+\infty} \frac{x^a \arctan x^b}{\sqrt{1+x^c}} \mathrm{~d} x$ 对任意正实数 $b, c$ 均收玫.
(I) 求 $a$ 的值.
(II) 证明: $\frac{\sqrt{2} \pi^2}{8} \leqslant \int_0^{+\infty} \frac{x^a \arctan x}{\sqrt{1+x^2}} \mathrm{~d} x \leqslant \frac{\pi(\pi+2)}{8}$.
设 $A, B$ 均为 2 阶实对称矩阵, $A$ 的特征值为 $1,2, B$ 的特征值为 2 , 3. 证明:
(I) 若存在 $\xi$, 使得 $\frac{\xi^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi}}{\boldsymbol{\xi}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\xi}}=2$, 则 $\boldsymbol{\xi}$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的属于特征值 2 的特征向量;
(II) 若存在 $\boldsymbol{\xi}$, 使得 $\frac{\boldsymbol{\xi}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi}}{\boldsymbol{\xi}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\xi}}=2, \frac{\boldsymbol{\xi}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{\xi}}{\boldsymbol{\xi}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\xi}}=3$, 则 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{B}$.
设总体 $X$ 的概率密度函数为 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\alpha \mathrm{e}^{-\alpha(x-\beta)}, & x \geqslant \beta, \\ 0, & \text { 其他, }\end{array}\right.$ 其中 $\alpha$ 为已知正常数, $\beta$ 为末知 正参数, $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本.
(I) 求 $\beta$ 的最大似然估计量 $\hat{\beta}$;
(II) 判断 $\hat{\beta}$ 是否为无偏估计.