解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
如图，四棱锥 $P-A B C D$ 的底面为正方形，$P D \perp$ 底面 $A B C D$ ．设平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 的交线为 $l$ ．
（1）证明：$l \perp$ 平面 $P D C$ ；
（2）已知 $P D=A D=1, Q$ 为 $l$ 上的点，求 $P B$ 与平面 $Q C D$ 所成角的正弦值的最大值．
如图，在三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 中， $ A B C$ 是边长为 2 的等边三角形，$B C \perp B B_1, C C_1=\sqrt{2}, A C_1=\sqrt{6}$ ．
（1）证明：平面 $A B C \perp$ 平面 $B B_1 C_1 C$ ；
（2）$M, N$ 分别是 $B C, B_1 C_1$ 的中点，$P$ 是线段 $A C_1$ 上的动点，若二面角 $P-M N-C$ 的平面角的大小为 $30^{\circ}$ ，试确定点 $P$ 的位置．
如图，$P$ 为圆锥的顶点，$O$ 为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径 $A B=4$ ，母线 $P H=2 \sqrt{2}$ ， $M$ 是 $P B$ 的中点，四边形 $O B C H$ 为正方形．
（1）设平面 $P O H \cap$ 平面 $P B C=l$ ，求证：$l / / B C$ ；
（2）设 $D$ 为 $O H$ 的中点，$N$ 是线段 $C D$ 上的一个点，当 $M N$ 与平面 $P A B$ 所成的角最大时，求 $M N$ 的长
四棱锥 $P-A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为 $\sqrt{2}$ 的正方形，$P A=P D=\sqrt{5}$ ，点 $P$ 在底面 $A B C D$ 的射影为点 $O$ ，且 $P O=2$ ，点 $M$ 是 $B C$ 的中点．
（1）求证：$A D \perp P M$ ；
（2）在线段 $O M$ 上，是否存在点 $N$ ，使二面角 $A-P B-N$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ？若存在，请确定点 $N$ 的位置，若不存在，请说明理由．
在直三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 中，$A B \perp A C$ ，且 $A C=A B=A A_1=2$ ．
（1）求证：$A_1 B \perp B_1 C$ ；
（2）$M, N$ 分别为棱 $C C_1, B C$ 的中点，点 $P$ 在线段 $A_1 B_1$ 上，是否存在点 $P$ ，使平面 $P M N$ 与平面 $A B C$ 所成角的余弦值为 $\frac{4 \sqrt{21}}{21}$ ，若存在，试确定点 $P$ 的位置；若不存在，请说明理由．
如图，在四棱锥 $P-A B C D$ 中，$\triangle P A B$ 是边长为 2 的等边三角形．梯形 $A B C D$ 满足 $B C=C D=1, A B / / C D$ ， $A B \perp B C$ ．
（1）求证：$P D \perp A B$ ；
（2）若 $P D=2$ ，求点 $D$ 到平面 $P B C$ 的距离．
如图，$\triangle A B C$ 是等腰直角三角形，$\angle A C B=90^{\circ}, A C=2 a, D, E$ 分别为 $A C, A B$ 的中点，沿 $D E$ 将 $\triangle A D E$折起，得到如图所示的四棱锥 $A^{\prime}-B C D E$ ．
（1）在棱 $A^{\prime} B$ 上找一点 $F$ ，使 $E F / /$ 平面 $A^{\prime} C D$ ；
（2）当四棱锥 $A^{\prime} B C D E$ 的体积取最大值时，求平面 $A^{\prime} C D$ 与平面 $A^{\prime} B E$ 所成角的余弦值．
如图，在正四棱锥 $S-A B C D$ 中，点 $O, E$ 分别是 $B D, B C$ 中点，点 $F$ 是 $S E$ 上的一点．
（1）证明：$O F \perp B C$ ；
（2）若四棱锥 $S-A B C D$ 的所有棱长为 $2 \sqrt{2}$ ，求直线 $O F$ 与平面 $S D E$ 所成角的正弦值的最大值．
如图，$C$ 是以 $A B$ 为直径的圆 $O$ 上异于 $A, B$ 的点，平面 $P A C \perp$ 平面 $A B C, P A=P C=A C=2, B C=4, E, F$ 分别是 $P C, P B$ 的中点，记平面 $A E F$ 与平面 $A B C$ 的交线为直线 $l$ ．
（1）求证：直线 $l \perp$ 平面 $P A C$ ；
（2）直线 $l$ 上是否存在点 $Q$ ，使直线 $P Q$ 分别与平面 $A E F$ ，直线 $E F$ 所成的角互余？若存在，求出 $|A Q|$ 的值；若不存在，请说明理由．
