四棱锥 $P-A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为 $\sqrt{2}$ 的正方形，$P A=P D=\sqrt{5}$ ，点 $P$ 在底面 $A B C D$ 的射影为点 $O$ ，且 $P O=2$ ，点 $M$ 是 $B C$ 的中点．
（1）求证：$A D \perp P M$ ；
（2）在线段 $O M$ 上，是否存在点 $N$ ，使二面角 $A-P B-N$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ？若存在，请确定点 $N$ 的位置，若不存在，请说明理由．