单选题 （共 1 题 ），每题只有一个选项正确
设总体 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$, 其中 $\sigma^2$ 已知, $n$ 是给定的样本容量, $\mu$ 为未知参数,则 $\mu$ 的等尾双侧置信区间长度 $L$ 与置信度 $1-\alpha$ 的关系是
$\text{A.}$ 当 $1-\alpha$ 减小时, $L$ 变小
$\text{B.}$ 当 $1-\alpha$ 减小时， $L$ 增大
$\text{C.}$ 当 $1-\alpha$ 减小时, $L$ 不变
$\text{D.}$ 当 $1-\alpha$ 减小时， $L$ 增减不定
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x ; a)=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{4 x^2}{a^3 \sqrt{\pi}} e^{-\frac{x^2}{a^2}}, & x>0, \\
0, & x \leqslant 0
\end{array}(a>0),\right.
$$
$x_1, x_2, \cdots, x_n$ 是从 $X$ 取出的样本观测值, 则总体参数 $a$ 的矩估计值为
设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\frac{1}{2 \theta} e ^{-\frac{|x|}{\theta}},-\infty < x < +\infty, \theta>0 . X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是取自总体 $X$ 的样本. 则未知参数 $\theta$ 的矩估计量为
设总体 $X$ 服从参数 $\lambda(\lambda>0$ 但未知 $)$ 的泊松分布, $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的一个简单随机样本, 则 $P\{X=0\}$ 的最大似然估计量为
设总体 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$, 从总体中抽取容量为 36 的一个样本, 样本均值 $\bar{x}=3.5$, 样本方差 $s^2=4$. 已知 $\sigma^2=1$, 则 $\mu$ 置信度为 0.95 的置信区间为 $\qquad$ . $(\Phi(1.96)=0.975$, $\left.t_{0.025}(35)=2.03, t_{0.05}(35)=1.69\right)$
已知某机器生产出的零件长度 $X$ (单位: cm ) 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$, 现从中随意抽取容量为 16 的一个样本, 测得样本均值 $\bar{x}=10$, 样本方差 $s^2=0.16$, 则总体均值 $\mu$ 置信水平为 0.95 的置信区间为 $\qquad$ $\left(t_{0.025}(15)=2.132\right)$
设总体 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$, 其中 $\mu$ 和 $\sigma^2$ 均为未知参数. 从总体 $X$ 中抽取容量为 10 的样本, 样本值如下:
$$
86.0,85.5,85.4,85.5,85.6,85.9,85.7,85.8,85.7,85.9,
$$
则标准差 $\sigma$ 的置信水平为 0.98 的置信区间是 $\qquad$
( $\chi_{0.01}^2(9)=21.67, \quad \chi_{0.01}^2(10)=23.21, \quad \chi_{0.99}^2(9)=2.09$, $\chi_{0.99}^2(10)=2.56$ )
解答题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设某种电器元件的寿命 $X$ (单位: h ) 服从双指数分布, 概率密度为
$$
f(x)= \begin{cases}\frac{1}{\theta} e^{-\frac{x-c}{\theta}}, & x \geqslant c, \theta>0, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$
其中 $\theta, c$ 为未知参数, 从中抽取 $n$ 件测其寿命, 得它们的有效使用时间依次为 $x_1 \leqslant x_2 \leqslant \cdots \leqslant x_n$. 求 $\theta$与 $c$ 的最大似然估计值.
设总体 $X$ 的概率密度
$$
f(x ; \theta)= \begin{cases}1, & \theta-\frac{1}{2} \leqslant x \leqslant \theta+\frac{1}{2}, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$
其中 $-\infty < \theta < +\infty . X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为取自总体 $X$ 的简单随机样本, 并记
$$
X_{(1)}=\min \left\{X_1, X_2, \cdots, X_n\right\}, \quad X_{(n)}=\max \left\{X_1, X_2, \cdots, X_n\right\}
$$
求参数 $\theta$ 的最大似然估计量 $\hat{\theta}_L$.
总体 $X$ 服从 $\left(0, \frac{1}{\theta}\right]$ 上的均匀分布, $\theta>0$ 为未知参数, $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本. 求:
(1) $\theta$ 的最大似然估计量 $\hat{\theta}$;
(2) $\hat{\theta}$ 的分布函数;
(3) $P\{\theta < \hat{\theta} \leqslant \theta+1\}$.