概率论与数理统计（参数估计）专项训练

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概率论与数理统计（参数估计）专项训练

一、单选题（共 1 题），每题只有一个选项正确

1. 设总体

X

服从正态分布

N (μ, σ^{2})

, 其中

σ^{2}

已知,

n

是给定的样本容量,

μ

为未知参数,则

μ

的等尾双侧置信区间长度

L

与置信度

1 - α

的关系是

A.

当

1 - α

减小时,

L

变小

B.

当

1 - α

减小时，

L

增大

C.

当

1 - α

减小时,

L

不变

D.

当

1 - α

减小时，

L

增减不定

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二、填空题（共 6 题），请把答案直接填写在答题纸上

2. 设总体

X

的概率密度为

f (x; a) = {\begin{cases} \frac{4 x^{2}}{a^{3} \sqrt{π}} e^{- \frac{x^{2}}{a^{2}}}, & x > 0, \\ 0, & x ⩽ 0 \end{cases} (a > 0),

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

是从

X

取出的样本观测值, 则总体参数

a

的矩估计值为

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3. 设总体

X

的概率密度为

f (x) = \frac{1}{2 θ} e^{- \frac{| x |}{θ}}, - \infty < x < + \infty, θ > 0 . X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

是取自总体

X

的样本. 则未知参数

θ

的矩估计量为

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4. 设总体

X

服从参数

λ (λ > 0

但未知

)

的泊松分布,

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

是来自总体

X

的一个简单随机样本, 则

P {X = 0}

的最大似然估计量为

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5. 设总体

X

服从正态分布

N (μ, σ^{2})

, 从总体中抽取容量为 36 的一个样本, 样本均值

\bar{x} = 3.5

, 样本方差

s^{2} = 4

. 已知

σ^{2} = 1

, 则

μ

置信度为 0.95 的置信区间为

(Φ (1.96) = 0.975

t_{0.025} (35) = 2.03, t_{0.05} (35) = 1.69)

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6. 已知某机器生产出的零件长度

X

(单位: cm ) 服从正态分布

N (μ, σ^{2})

, 现从中随意抽取容量为 16 的一个样本, 测得样本均值

\bar{x} = 10

, 样本方差

s^{2} = 0.16

, 则总体均值

μ

置信水平为 0.95 的置信区间为

(t_{0.025} (15) = 2.132)

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7. 设总体

X

服从正态分布

N (μ, σ^{2})

, 其中

μ

和

σ^{2}

均为未知参数. 从总体

X

中抽取容量为 10 的样本, 样本值如下:

86.0, 85.5, 85.4, 85.5, 85.6, 85.9, 85.7, 85.8, 85.7, 85.9,

则标准差

σ

的置信水平为 0.98 的置信区间是

(

χ_{0.01}^{2} (9) = 21.67, χ_{0.01}^{2} (10) = 23.21, χ_{0.99}^{2} (9) = 2.09

χ_{0.99}^{2} (10) = 2.56

)

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三、解答题（共 3 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

8. 设某种电器元件的寿命

X

(单位: h ) 服从双指数分布, 概率密度为

f (x) = {\begin{cases} \frac{1}{θ} e^{- \frac{x - c}{θ}}, & x ⩾ c, θ > 0, \\ 0, & 其他, \end{cases}

其中

θ, c

为未知参数, 从中抽取

n

件测其寿命, 得它们的有效使用时间依次为

x_{1} ⩽ x_{2} ⩽ \dots ⩽ x_{n}

. 求

θ

与

c

的最大似然估计值.

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9. 设总体

X

的概率密度

f (x; θ) = {\begin{cases} 1, & θ - \frac{1}{2} ⩽ x ⩽ θ + \frac{1}{2}, \\ 0, & 其他, \end{cases}

其中

- \infty < θ < + \infty . X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

为取自总体

X

的简单随机样本, 并记

X_{(1)} = min {X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}}, X_{(n)} = max {X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}}

求参数

θ

的最大似然估计量

{\hat{θ}}_{L}

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10. 总体

X

服从

(0, \frac{1}{θ}]

上的均匀分布,

θ > 0

为未知参数,

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

为来自总体

X

的简单随机样本. 求:
(1)

θ

的最大似然估计量

\hat{θ}

;
(2)

\hat{θ}

的分布函数;
(3)

P {θ < \hat{θ} ⩽ θ + 1}

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