设总体 $X$ 的概率密度

$$
f(x ; \theta)= \begin{cases}1, & \theta-\frac{1}{2} \leqslant x \leqslant \theta+\frac{1}{2}, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$


其中 $-\infty < \theta < +\infty . X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为取自总体 $X$ 的简单随机样本, 并记

$$
X_{(1)}=\min \left\{X_1, X_2, \cdots, X_n\right\}, \quad X_{(n)}=\max \left\{X_1, X_2, \cdots, X_n\right\}
$$


求参数 $\theta$ 的最大似然估计量 $\hat{\theta}_L$.