单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)=\int_0^{|\sin x|} e ^{t^2} d t, g(x)=\int_0^{|x|} \sin t^2 d t$, 则在 $(-\pi, \pi)$ 内,
$\text{A.}$ $f(x)$ 是可导的奇函数.
$\text{B.}$ $g(x)$ 是可导的偶函数.
$\text{C.}$ $f(x)$ 是奇函数且 $f^{\prime}(0)$ 不存在.
$\text{D.}$ $g(x)$ 是偶函数且 $g^{\prime}(0)$ 不存在.
设 $b>0>a$, 则
$\text{A.}$ $a e ^a\left( e ^b-1\right) < b e ^b\left( e ^a-1\right)$.
$\text{B.}$ $a e ^a\left( e ^b-1\right)>b e ^b\left( e ^a-1\right)$.
$\text{C.}$ $b e ^a\left( e ^b-1\right) < a e ^b\left( e ^a-1\right)$.
$\text{D.}$ $b e ^a\left( e ^b-1\right)>a e ^b\left( e ^a-1\right)$.
设 $z=z(x, y)$ 由 $\left\{\begin{array}{l}x=u e ^v, \\ y=u v,(u>0, v>1) \\ z=v\end{array}\right.$ 所确定, 则 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=$
$\text{A.}$ $\frac{x y}{z(1-z)^3}$.
$\text{B.}$ $\frac{x y}{z(z-1)^3}$.
$\text{C.}$ $\frac{z}{x y(1-z)^3}$.
$\text{D.}$ $\frac{z}{x y(z-1)^3}$.
设平面 $D$ 是由曲线 $y=\ln x$, 直线 $x=1, y=1$ 围成的第一象限的有界区域, 记 $D$分别绕$x$轴与绕 $y=1$ 旋转一周所得旋转体体积为 $V_1, V_2$, 则
$\text{A.}$ $V_2>\frac{\pi}{2}>V_1$.
$\text{B.}$ $V_1>\frac{\pi}{2}>V_2$.
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{2}>V_1>V_2$.
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{2}>V_2>V_1$.
设 2 阶矩阵 $A$ 的特征值均为实数, 则
$\text{A.}$ $\left[\frac{\operatorname{tr}( A )}{3}\right]^2 \geqslant| A |$.
$\text{B.}$ $\left[\frac{\operatorname{tr}( A )}{3}\right]^2 \leqslant| A |$.
$\text{C.}$ $\left[\frac{\operatorname{tr}( A )}{2}\right]^2 \geqslant| A |$.
$\text{D.}$ $\left[\frac{\operatorname{tr}( A )}{2}\right]^2 \leqslant| A |$.
设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵, $b$ 是 $n$ 维列向量且与 $A ^{ T } x = 0$ 的解均正交,则
$\text{A.}$ $A ^{ T } x = 0$ 的解与 $A$ 的行向量正交.
$\text{B.}$ $A x = 0$ 的解与 $A$ 的列向量正交.
$\text{C.}$ $A ^{ T } x = b$ 有解.
$\text{D.}$ $A x = b$ 有解.
设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵,则" $| A | < 0$ " 是"存在 $n$ 维非零列向量 $\alpha$, 使得 $\alpha ^{ T } A \alpha < 0$ " 的
$\text{A.}$ 充分非必要条件.
$\text{B.}$ 必要非充分条件.
$\text{C.}$ 充要条件.
$\text{D.}$ 既非充分又非必要条件.
设随机事件 $A, B, C$ 满足 $A, C$ 独立, $0 < P(B) < 1,0 < P(C) < 1, P(A \mid C) < P(B \mid C)$, $P(A \mid \bar{C}) < P(B \mid \bar{C})$, 则
$\text{A.}$ $P(A)>P(A \mid C B) P(A \mid C)+P(A \mid C \bar{B}) P(\bar{B} \mid C)$.
$\text{B.}$ $P(A) < P(A \mid \bar{C} B) P(A \mid \bar{C})+P(A \mid \bar{C} \bar{B}) P(\bar{B} \mid \bar{C})$.
$\text{C.}$ $P(A)>P(B \mid C) P(C)+P(B \mid \bar{C}) P(\bar{C})$.
$\text{D.}$ $P(A) < P(A \mid B) P(B)+P(A \mid \bar{B}) P(\bar{B})$.
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 独立同分布, 且都服从参数为 1 的指数分布, 若
$Z= \begin{cases}2 X, & X \geqslant Y, \\ Y-1, & X < Y,\end{cases}$
则 $E(Z)=$
$\text{A.}$ $\frac{2}{7}$.
$\text{B.}$ $\frac{7}{2}$.
$\text{C.}$ $\frac{4}{7}$.
$\text{D.}$ $\frac{7}{4}$.
设连续型随机变量 $X$ 与 $Y$ 独立同分布, 且其分布函数 $F(x)$ 为严格单调增加函数, 若 $E(X)$ 存在, 且 $E(|X-Y|)=1$, 则 $X$ 与 $F(X)$ 的协方差为
$\text{A.}$ 0.
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{4}$.
$\text{D.}$ 1 .
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设圆与曲线 $x=y^2$ 在 $(0,0)$ 处有公切线且它们关于 $y$ 的二阶导数值相同, 则该圆的方程为
设 $y=y(x)$ 满足 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y= e ^{-x}, y(0)=y^{\prime}(0)=1$, 则 $\int_0^{+\infty} x d y=$
设函数 $f(x)=\frac{x^2-x-1}{x^2(x+1)}$ 的幂级数展开式为 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-1)^n, x \in(0,2)$, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(-1)^n a_n}{\sqrt{n^2+1}}=$
$\int_{-1}^1\left(x^2+a x+b\right)^2 d x$ 的最小值为
设 $x \neq 0$, 则 $D_4=\left|\begin{array}{cccc}x & x & 0 & 0 \\ 1 & 1+2 x & 2 x & 0 \\ 0 & 2 & 2+3 x & 3 x \\ 0 & 0 & 3 & 3+4 x\end{array}\right|=$
甲口袋有 1 只黑球, 2 只白球,乙口袋有 3 只白球, 每次从两口袋中各任取一球, 交换后放另一口袋，则交换 3 次后，黑球仍在甲口袋中的概率为
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求曲线 $y=x^2\left[\frac{\left(1+\frac{1}{x}\right)^x}{ e }-1\right](x>0)$ 的斜渐近线.
设某光滑曲线的方程为 $f(x, y)=0(x>0,0 < y \leqslant a)$. 若该曲线在某点的切线与坐标轴及过切点平行于 $x$ 轴的直线所围成梯形的面积恒为 $a^2$, 且 $f(a, a)=0$. 求:
(1) 该曲线方程;
(2) 曲线上横坐标的最小值.
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上具有二阶导数, $f(0)=f(1)=0, f^{\prime \prime}(x) < 0,0 \leqslant f(x) \leqslant 1$. 证明:
(1) 存在 $\xi \in(0,1)$, 使得对任意 $x \in(0, \xi)$, 有 $f^{\prime}(x)>0$;
(2) $\int_0^1 \sqrt{1+\left[f^{\prime}(x)\right]^2} d x < 3$.
设 $f(x)$ 具有 1 阶连续导数,
$$
\iint_D f(x y) d \sigma=\int_0^x\left[f^{\prime}(t)-x t f\left(x^2-t^2\right)\right] d t, f(0)=a,
$$
其中 $D$ 是 $y=|x|^3$ 与 $y=1$ 围成的有界闭区域, 求 $\iint_D f(x y) d \sigma$.
设二次型 $f\left(x_1, x_2\right)=x_1^2-4 x_1 x_2+4 x_2^2, g\left(x_1, x_2\right)$ 的二次型矩阵为 $B =\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ -1 & 2\end{array}\right)$.
(1) 是否存在可逆矩阵 $D$, 使 $B = D ^{ T } D$ ? 若存在, 求出矩阵 $D$, 若不存在, 说明理由;
(2) 求 $\max _{ x \neq 0} \frac{f( x )}{g( x )}$, 其中 $x =\binom{x_1}{x_2}$.
设随机变量 $X, Y$ 独立同分布, 且 $X$ 的概率密度为 $f_X(x)= e ^{-x} e ^{- e ^{-x}}, x \in R . Z$ 的概率密度为 $f_Z(z)=\frac{ e ^z}{\left(1+ e ^z\right)^2}, z \in R$.
(1) 求 $e ^Z$ 的数学期望;
(2) $Z$ 与 $X-Y$ 是否同分布?说明理由.