【30633】 【 杨超《考前必做139》道题目-高等数学2】 解答题 （1）设非负连续函数 $f(x)$ 满足 $f(x) \int_0^x f(x-t) d t=\sin ^4 x$ ，求 $f(x)$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的平均值； （2）（浙江省 2002 年竞赛题）设连续函数 $f(x)$ 在 $(-1,+\infty)$ 内满足 $f(x)\left[\int_0^x f(t) d t+1\right]=\frac{x e ^x}{2(1+x)^2}$ ，求 $f(x)$ ．

---

【30632】 【 杨超《考前必做139》道题目-高等数学2】 解答题 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $f(0)=0, f(1)=1$ ．证明：（1）存在两个不同的点 $\xi_1, \xi_2 \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime}\left(\xi_1\right)+f^{\prime}\left(\xi_2\right)=2$ ； （2）存在 $\xi, \eta \in(0,1)$ ，使得 $\eta f^{\prime}(\xi)=f(\eta) f^{\prime}(\eta)$ ．

---

【30631】 【 杨超《考前必做100》道题目-高等数学】 解答题 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续可导，$f(0)=0$ ，求证： $\exists \eta \in[0,1]$ ，使 $f^{\prime}(\eta)=2 \int_0^1 f(x) d x$ 。

---

【30630】 【 杨超《考前必做100》道题目-高等数学】 解答题 （积分第二中值定理）（1）设函数 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续，函数 $g$ 在 $[a, b]$ 上非负、单调减少，且具有连续导数．证明：存在 $\xi \in[a, b]$ ，使得 $$ \int_a^b f(x) g(x) d x=g(a) \int_a^{\xi} f(x) d x . $$ （2）设函数 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续，函数 $g$ 在 $[a, b]$ 上单调并具有连续导数．证明：存在 $\xi \in [a, b]$ ，使得 $$ \int_a^b f(x) g(x) d x=g(a) \int_a^{\xi} f(x) d x+g(b) \int_{\xi}^b f(x) d x . $$

---

【30629】 【 杨超《考前必做100》道题目-高等数学】 解答题 设 $$ f(x)= \begin{cases}\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(1+\cos \frac{x}{n}+\cos \frac{2 x}{n}+\cdots+\cos \frac{n-1}{n} x\right), & x>0 \\ \lim _{n \rightarrow}\left[1+\frac{1}{n!}\left(\int_0^1 \sqrt{1+x^3+x^5} d x\right)^n\right], & x=0 \\ f(-x), & x<0\end{cases} $$ （1）讨论 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的可导性； （2）求 $f(x)$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上的最大值．

---

【30628】 【 杨超《考前必做100》道题目-高等数学】 解答题 设 $f(x)$ 在 $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 内可导，$f(0)=1, f(x)>0$ ，且满足 $$ \lim _{h \rightarrow 0}\left[\frac{f\left(x+h \cos ^2 x\right)}{f(x)}\right]^{\frac{1}{h}}=e^{x \cos ^2 x+\tan x} \text {, } $$ 求 $f(x)$ 的表达式及其极值．

---

【30627】 【 杨超《考前必做100》道题目-高等数学】 解答题 设 $f(x)$ 在 $R$ 上二阶可导且 $f^{\prime \prime}(x)+f(x)=0, f(0)=0, f^{\prime}(0)=0$ ，求 $f(x)$ ．

---

【30626】 【 杨超《考前必做100》道题目-高等数学】 解答题 （1）设 $f(x)$ 是以 $T$ 为周期的非负可积函数，且 $\int_0^T f(x) d x=a$ ，证明 $$ \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_0^x f(x) d x=\frac{a}{T} ; $$ （2）（上海市1991年竟赛题）设 $f(x)=x-[x]$ ，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_0^x f(x) d x$ ．

---

【30625】 【 杨超《考前必做100》道题目-高等数学】 解答题 设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足：$a<x_1<b, x_{n+1}=x_n-\frac{f\left(x_n\right)}{f^{\prime}\left(x_n\right)}, n=1,2, \cdots$ ，其中 $f(x)$ 二阶可导，且 $f^{\prime}(x)>0, f^{\prime \prime}(x)>0, f(a)=0$ ． （1）证明 $x_n>a$ ； （2）证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在，并求其值．

---

【30624】 【 杨超《考前必做100》道题目-高等数学】 解答题 试证方程 $x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}=1$ 对任何不小于 2 的正整数 $n$ ，在 $(0,1)$ 内都有唯一实根 $x_n$ 及 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在，并求此极限．

---

... 931 932 933 934 935  ...