设

$$
f(x)= \begin{cases}\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(1+\cos \frac{x}{n}+\cos \frac{2 x}{n}+\cdots+\cos \frac{n-1}{n} x\right), & x>0 \\ \lim _{n \rightarrow}\left[1+\frac{1}{n!}\left(\int_0^1 \sqrt{1+x^3+x^5} d x\right)^n\right], & x=0 \\ f(-x), & x < 0\end{cases}
$$

（1）讨论 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的可导性；
（2）求 $f(x)$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上的最大值．