【30653】 【 崔原铭《线性代数》二次型专项训练】 解答题 设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2-x_2^2+2 a x_1 x_3+4 x_2 x_3$ 的负惯性指数为 1 ，则 a的取值范围为 $\qquad$ ．

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【30652】 【 正态分布】 解答题 法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包。该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是 1000 g ，上下浮动不超过 50 g 。这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为 1000 g ，标准差为 50 g 的正态分布． （1）已知如下结论：若 $X: N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，从 $X$ 的取值中随机抽取 $k\left(k \in N^*, k \geq 2\right)$ 个数据，记这 $k$ 个数据的平均值为 $Y$ ，则随机变量 $Y \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{k}\right)$ ．利用该结论解决下面问题． （i）假设面包师的说法是真实的，随机购买 25 个面包，记随机购买 25 个面包的平均值为 $Y$ ，求 $P(Y \leq 980)$ ； （ii）庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录， 25 天后，得到的数据都落在 $(950,1050)$ 上，并经计算 25个面包质量的平均值为 978.72 g 。庞加莱通过分析举报了该面包师，从概率角度说明庞加莱举报该面包师的理由； （2）假设有两箱面包（面包除颜色外，其他都一样），已知第一箱中共装有 6 个面包，其中黑色面包有 2 个；第二箱中共装有 8 个面包，其中黑色面包有 3 个．现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出 2 个面包．求取出黑色面包个数的分布列及数学期望． 附： ① 随机变量 $\eta$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，则 $P(\mu-\sigma \leq \eta \leq \mu+\sigma)=0.6827$ ， $$ P(\mu-2 \sigma \leq \eta \leq \mu+2 \sigma)=0.9545, P(\mu-3 \sigma \leq \eta \leq \mu+3 \sigma)=0.9973 ; $$ ② 通常把发生概率小于 0.05 的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生．

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【30651】 【 正态分布】 解答题 $5 G$ 网络是第五代移动通信网络的简称，是新一轮科技革命最具代表性的技术之一． 2020 年初以来，我国 $5 G$网络正在大面积铺开．$A$ 市某调查机构为了解市民对该市 $5 G$ 网络服务质量的满意程度，从使用了 $5 G$ 手机的市民中随机选取了 200 人进行问卷调查，并将这 200 人根据其满意度得分分成以下 6 组：［40，50）、［50，60）、 $[60,70)$ ，．．．，［90，100］，统计结果如图所示： [img=/uploads/2025-08/a6557a.jpg][/img] （1）由直方图可认为 $A$ 市市民对 $5 G$ 网络满意度得分 $Z$（单位：分）近似地服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，其中 $\mu$ 近似为样本平均数 $\bar{x}, \sigma$ 近似为样本的标准差 $s$ ，并已求得 $s=14.31$ ．若 $A$ 市恰有 2 万名 $5 G$ 手机用户，试估计这些 $5 G$ 手机用户中满意度得分位于区间（ $41.88,84.81$ ］的人数（每组数据以区间的中点值为代表）； （2）该调查机构为参与本次调查的 $5 G$ 手机用户举行了抽奖活动，每人最多有 3 轮抽奖活动，每一轮抽奖相互独立，中奖率均为 $\frac{1}{3}$ ．每一轮抽奖，奖金为 100 元话费且继续参加下一轮抽奖；若未中奖，则抽奖活动结束．现小王参与了此次抽奖活动，求小王所获话费总额 $x$ 的数学期望． 参考数据：若随机变量 $Z$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，即 $Z \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，则 $P(\mu-\sigma<Z \leq \mu+\sigma)=0.6827$ ， $P(\mu-2 \sigma<Z \leq \mu+2 \sigma)=0.9545$ ．

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【30650】 【 正态分布】 解答题 从某企业的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率直方图： （1）求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 $\overline{ x }$ 和样本方差 $s ^2$（同一组数据用该区间的中点值作代表，记作 $x _{ i }, i =1,2, \cdots, 7$ ）； （2）由频率直方图可以认为，这种产品的质量指标值 X 服从正态分布 $N \left(\mu, \sigma^2\right)$ ，其中 $\mu$ 近似为样本平均数 $\bar{x}, \sigma^2$ 近似为样本方差 $s^2$ ． ① 若使 $84.14 \%$ 的产品的质量指标值高于企业制定的合格标准，则合格标准的质量指标值大约为多少？ ② 若该企业又生产了这种产品 1000 件，且每件产品相互独立，则这 1000 件产品质量指标值不低于 12.14的件数最有可能是多少？ 附：$\sum_{i=1}^7\left( x _{ i }-\overline{ x }\right)^2 h_{ i }=3.46,3.46 \approx \frac{1}{2} \times 2.63^2$ ；若 $X \sim N \left(\mu, \sigma^2\right)$ ，则 $P (\mu-\sigma< X \leqslant \mu+\sigma)=0.6827 ; P (\mu-2 \sigma< X \leqslant \mu +2 \sigma)=0.9545 ; P (\mu-3 \sigma< X \leqslant \mu+3 \sigma)=0.9973$. [img=/uploads/2025-08/8f03a6.jpg][/img]

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【30649】 【 正态分布】 单选题 设 $X \sim N\left(\mu_1, \sigma_1^2\right), Y \sim N\left(\mu_2, \sigma_2^2\right)$ ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是 [img=/uploads/2025-08/8d76a0.jpg][/img]

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【30648】 【 正态分布】 多选题 下列命题中正确的是（ ）

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【30647】 【 正态分布】 多选题 给出下列命题，其中正确的是

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【30646】 【 正态分布】 多选题 已知某校高二男生的身高 $X$（单位： cm ）服从正态分布 $N(175,16)$ ，且 $P(\mu-2 \sigma<X \leq \mu+2 \sigma)=0.9544$ ，则

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【30645】 【 正态分布】 填空题 设随机变量 $X \sim N\left(72, \sigma^{2}\right)$ ，若 $P(70<X<73)=0.3$ ，则 $P(71<X<74)=$

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【30644】 【 正态分布】 填空题 已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $\mathrm{N}\left(1, \sigma^{2}\right)$ ，若 $P(X>a)=P(X<a)$ ，则 $a=$

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