【32047】 【 湖南省天壹名校联盟2026届高三8月入学考试数学】 解答题 已知函数 $f(x)=\ln x+m x$ ． （1）若直线 $2 x-y-1=0$ 与曲线 $y=f(x)$ 相切，求 $m$ 的值； （2）讨论 $f(x)$ 的零点个数； （3）若方程 $f(x)=x$ 有两个解 $x_1, x_2\left(x_1<x_2\right)$ ，证明：$\exists x_3, x_4 \in\left(x_1, x_2\right)$ ，使得 $f^{\prime}\left(x_3\right) f^{\prime}\left(x_4\right)=1$ ．

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【32046】 【 湖南省天壹名校联盟2026届高三8月入学考试数学】 解答题 已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且经过点 $A(-2,0), B(2,0)$ ．过点 $M(1,0)$ ，斜率为 $k(k \neq 0)$ 的直线与椭圆 $C$ 交于 $C, D$ 两点，直线 $A C, B D$ 分别与直线 $x=1$ 交于点 $E, G$ ． （1）求椭圆 $C$ 的方程； （2）求 $\frac{|E M|}{|G M|}$ 的值．

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【32045】 【 湖南省天壹名校联盟2026届高三8月入学考试数学】 解答题 如图，在四棱锥 $P-A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是菱形，侧面 $P A D \perp$ 底面 $A B C D, \triangle P A D$为正三角形，$E, F$ 分别是棱 $A D, D C$ 的中点，点 $G$ 在侧棱 $P D$ 上，且 $P G: G D=3: 1$ ． （1）求证：$P B / /$ 平面 $E F G$ ； （2）若 $P B \perp B C$ ，求二面角 $F-E G-D$ 的余弦值．

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【32044】 【 湖南省天壹名校联盟2026届高三8月入学考试数学】 解答题 在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $b=2 c, a=3 \sqrt{7}$ ．向量 $\boldsymbol{m}=(\sqrt{3} b, a)$ ， $n=(\cos A, \sin B), m \perp n$ ，点 $M$ 在边 $B O$ 上，$A M$ 是角 $A$ 的平分线． （1）求角 $A$ ； （2）求 $A M$ 的长．

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【32043】 【 湖南省天壹名校联盟2026届高三8月入学考试数学】 填空题 函数 $f(x)=\sin 2 x+\frac{1}{2} \sin 4 x$ 的值域为

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【32042】 【 湖南省天壹名校联盟2026届高三8月入学考试数学】 填空题 已知 $O$ 为坐标原点，$F$ 是抛物线 $C: x^2=4 y$ 的焦点，$A, B$ 是 $C$ 上位于 $y$ 轴异侧的两点，且 $|A F|=3, \triangle O A B$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ，则 $|A B|=$

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【32041】 【 湖南省天壹名校联盟2026届高三8月入学考试数学】 填空题 已知 $(x+y)^n$ 的展开式共有 9 项，则展开式中 $x^2 y^6$ 的系数为

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【32040】 【 湖南省天壹名校联盟2026届高三8月入学考试数学】 多选题 已知函数 $f(x)=2 \ln x+k x^2-5, g(x)=2 x^2 \ln x$（参考数据： $\mathrm{e}^3=20.086, \ln 2=0.693, \ln 5=$ 1．609），下列说法正确的是

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【32039】 【 湖南省天壹名校联盟2026届高三8月入学考试数学】 多选题 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式为 $a_n=\sqrt{3}(n-1)+1$ ，前 $n$ 项和为 $S_n$ ，数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足 $n b_n=S_n$ ，则下列说法正确的是

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【32038】 【 湖南省天壹名校联盟2026届高三8月入学考试数学】 多选题 下列说法正确的是

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