【33506】 【 概率论与数理统计期末解答题汇编】 解答题 从总体 $X \sim N\left(u, \sigma^2\right)$ 中抽取容量为 16 的一个样本，样本均值和样本方差分别是 $\bar{X}=75, S^2=4, \quad t_{0.975}(15)=2.1315, x_{0.025}^2(15)=6.26, x_{0.975}^2(15)=27.5$求 $u$ 的置信度为 0.95 的置信区间和 $\sigma^2$ 的置信度为 0.95 的置信区间。

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【33505】 【 概率论与数理统计期末解答题汇编】 解答题 设总体 $\mathrm{X} \sim N\left(0, \sigma^2\right), X_1, \ldots, X_n$ 是一个样本，求 $\sigma^2$ 的矩估计量，并证明它为 $\sigma^2$ 的无偏估计。

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【33504】 【 概率论与数理统计期末解答题汇编】 解答题 设随机变量（ $\mathrm{X}, \mathrm{Y})$ 的联合概率密度为：$f(x, y)=\left\{\begin{array}{lc}2 y, & 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1 \\ 0 & \text { ，其它 }\end{array}\right.$ 求：（1） $\mathrm{X}, \mathrm{Y}$ 的边缘密度， （2）讨论 X 与 Y 的独立性。

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【33503】 【 概率论与数理统计期末解答题汇编】 解答题 已知随机变量 X 的密度函数 $f(x)= \begin{cases}a x^2, & 0 \leq x \leq 1 \\ 0 & , \quad \text { 其它 }\end{cases}$ 求：（1）常数 $a$ ， （2）$p(0.5<X<1.5)$ （3） X 的分布函数 $\mathrm{F}(x)$ 。

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【33502】 【 概率论与数理统计模拟试卷试卷和答案】 解答题 设一个人在一年中患感冒的次数 X 服从参数为 5 的泊松分布，假定正在销售一种新型特效药，对 $75 \%$ 的人群来说可将上述参数减小为 3 ，而对另外 $25 \%$ 的人群则无效，若某人试用此药一年，在试用期间患上了两次感冒，试运用贝叶斯公式分析此药对他有效的可能性是多少？

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【33501】 【 概率论与数理统计模拟试卷试卷和答案】 解答题 设连续型随机变量 $X$ 的概率密度为 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{2} e^{-|x|},-\infty<x<+\infty$ ，证明 $Y=X^2$ 的概率密度为 $\mathrm{f}_{\mathrm{Y}}(\mathrm{y})=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2 \sqrt{y}} e^{-\sqrt{y}}, & y>0 \\ 0, & y \leq 0\end{array}\right.$ 。

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【33500】 【 概率论与数理统计模拟试卷试卷和答案】 解答题 设某种清漆的 9 个样品，其干燥时间（以小时计）分别为 $6.0,5.7,5.8,6.5,7.0,6.3$ ， $5.6,6.1,5.0$ 。设干燥时间总体服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，若由以往经验知 $\sigma=0.6$ ，求 $\mu$ 的置信度为 0.95 的置信区间。 $\Phi(1.96)=0.975$

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【33499】 【 概率论与数理统计模拟试卷试卷和答案】 解答题 某仪器装有 3 只独立工作的同型号电子元件，其寿命（单位：小时）都服从同一指数分布，概率密度函数为：$f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{600} e^{-\frac{1}{600} x}, & x>0 \\ 0, & x \leq 0\end{array}\right.$ ，试求在仪器使用的最初 200 小时内，至少有一只电子元件损坏的概率。

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【33498】 【 概率论与数理统计模拟试卷试卷和答案】 解答题 袋中有大小、重量等完全相同的四个球，分别标有数字 $1,2,2,3$ ，现从袋中任取一球，取后不放回，再取第二次。分别以 $\mathrm{X} 、 \mathrm{Y}$ 记第一次和第二次取得球上标有的数字。求： （1）$(\mathrm{X}, \mathrm{Y})$ 的联合分布律； （2） X 和 Y 的边缘分布律； （3）判断 X 与 Y 是否独立。

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【33497】 【 概率论与数理统计模拟试卷试卷和答案】 解答题 将 15 名新生随机地平均分配到三个班级中去，这 15 名新生中有 3 名是优秀生。试问： （1）每个班级各分配到一名优秀生的概率是多少？ （2） 3 名优秀生分配在同一个班级的概率是多少？

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