【33536】 【 周民强-定积分的基本概念与性质】 解答题 试证明下列命题： （1）设 $f \in C([0, \pi])$ ．若有 $\int_0^\pi f(x) \sin x \mathrm{~d} x=0, \int_0^\pi f(x) \cos x \mathrm{~d} x=0$ ，则 $f(x)$ 在 $(0, \pi)$ 中至少有两个零点． （2）设 $f \in C([a, b])$ ，若有 $\int_a^b x^n f(x) \mathrm{d} x=0(n=0,1,2, \cdots, N)$ ，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 中至少有 $N+1$ 个零点． （3）设 $f \in C([a, b])$ ，若对满足 $\int_a^b \varphi(x) \mathrm{d} x=0$ 的任一连续函数 $\varphi(x)$ ，均有 $\int_a^b f(x) \varphi(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $f(x) \equiv C$ 。

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【33535】 【 周民强-定积分的基本概念与性质】 解答题 试证明下列命题： （1）设 $f \in R([a, b])$ 。若令 $h(x)=\inf _{[a, x]}\{f(t)\}, H(x)=\sup _{[a, x]}\{f(t)\}, a \leqslant x \leqslant b$ ，则 $h(x), H(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积． （2）设 $f \in R([0,1])$ ，则有 $\lim _{n \rightarrow \infty} I_n=0$ ，其中 $$ I_n=\frac{1}{n}\left[f\left(\frac{1}{n}\right)-f\left(\frac{2}{n}\right)+\cdots+(-1)^n f\left(\frac{n-1}{n}\right)\right] . $$

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【33534】 【 周民强-定积分的基本概念与性质】 解答题 试证明下列函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上可积： （1）$f(x)= \begin{cases}\sin \frac{1}{x}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0 .\end{cases}$ （2）$f(x)= \begin{cases}\frac{1}{x}-\frac{1}{\sin x}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0 .\end{cases}$ （3）$f(x)= \begin{cases}\ln x \cdot \ln (1+x), & x \neq 0, \\ 0, & x=0 .\end{cases}$

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【33533】 【 周民强-定积分的基本概念与性质】 解答题 解答下列问题： （1）设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可积，且有 $\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x>0$ ，试证明存在 $[\alpha, \beta] \subset[0,1]$ ，使得 $f(x)>0(x \in[\alpha, \beta])$ 。 （2）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界，$\alpha>0$ ．试对 $[a, b]$ 的任一分划 $\Delta: a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$ ，以及任意的插点组 $\langle\xi\rangle$ ，计算极限 $\lim _{\Delta \| \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f\left(\xi_i\right)\left(\Delta x_i\right)^{1+\alpha}$.

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【33532】 【 概率论与数理统计期末解答题汇编】 解答题 测得某地区 16 个成年男子的体重（以公斤计）为 $$ \begin{aligned} & 77.18,80.81,65.83,66.28,71.28,79.45,78.54,62.20 \\ & 69.01,77.63,74.00,77.18,61.29,72.19,90.35,59.47 \end{aligned} $$ 设 样 本 来 自 正 态 总 体 $N\left(\mu, \sigma^2\right), \mu, \sigma^2$ 均 未 知，试 取 $\alpha=0.05$ 检 验 假 设： $H_0: \mu=72.64, \quad H_1: \mu \neq 72.64$ 。（取 $\alpha=0.05$ ），此题中 $t_{0.025}(15)=2.1315$

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【33531】 【 概率论与数理统计期末解答题汇编】 解答题 设总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，参数 $\mu$ 已知，$\sigma^2\left(\sigma^2>0\right)$ 未知，$x_1, x_2, ..., x_n$ 为一相应的样本值。求 $\sigma^2$ 的最大似然估计量。，并证明它为 $\sigma^2$ 的无偏估计。

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【33530】 【 概率论与数理统计期末解答题汇编】 解答题 一农场种植生产果冻的葡萄，以下数据是从 30 车葡萄中采样测得的糖含量（以某种单位计） $$ \begin{aligned} & 16.0,15.2,12.0,16.9,14.4,16.3,15.6,12.9,15.3,15.1 \\ & 15.8,15.5,12.5,14.5,14.9,15.1,16.0,12.5,14.3,15.4 \\ & 15.4,13.0,12.6,14.9,15.1,15.3,12.4,17.2,14.7,14.8 \end{aligned} $$ 设样本来自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right), \mu, \sigma^2$ 均末知。经计算 $\bar{x}=14.72, s^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^2=1.9072$ ， $$ t_{0.05}(29)=1.6991, x_{0.95}^2(29)=17.708, x_{0.05}^2(29)=42.557 $$ 求（1）$\mu$ 的置信水平为 $90 \%$ 的置信区间；（2）$\sigma^2$ 的置信水平为 $90 \%$ 的置信区间。

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【33529】 【 概率论与数理统计期末解答题汇编】 解答题 设随机变量 $\mathrm{X}, \mathrm{Y}$ 的概率密度分别为：$f_X(x)=\left\{\begin{array}{ll}e^{-x}, & 0 \leq x, \\ 0 \quad, & \text { 其它 }\end{array}\right.$ ， $f_Y(y)=\left\{\begin{array}{lc}2 y, & 0 \leq y \leq 1, \\ 0 & , \quad \text { 其它 }\end{array}\right.$ ，且随机变量 $\mathrm{X}, \mathrm{Y}$ 相互独立。 （1）求（ $\mathrm{X}, \mathrm{Y}$ ）的联合概率密度为：$f(x, y)$ （2）计算概率值 $p\{Y \leq 2 X\}$ 。

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【33528】 【 概率论与数理统计期末解答题汇编】 解答题 计算机中心有三台打字机 A，B，C，程序交与各打字机打字的概率依次为 $0.6,0.3$ ， 0.1 ，打字机发生故障的概率依次为 $0.01,0.05,0.04$ 。已知一程序因打字机发生故障而被破坏了，求该程序是在 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 上打字的概率分别为多少？

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【33527】 【 概率论与数理统计期末解答题汇编】 解答题 某工厂要求供货商提供的元件一级品率为 $90 \%$ 以上，现有一供应商有一大批元件，经随机抽取 100 件，经检验发现有 84 件为一级品，试以 $5 \%$ 的显著性水平下，检验这个供应商提供的元件的一级品率是否达到该厂方的的要求。（已知 $Z_{0.05}=1.645$ ，提示用中心极限定理）

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