【33557】 【 第十七届全国大学生数学竞赛初赛（非数学类B类）试题及详细解答】 填空题 积分 $\int_1^{+\infty} \frac{\ln x}{(1+x)^2} \mathrm{~d} x=$

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【33556】 【 第十七届全国大学生数学竞赛初赛（非数学类B类）试题及详细解答】 填空题 设函数 $f(u, v)$ 具有一阶连续偏导数，$f(2,0)=3, f_u^{\prime}(2,0)=5$ ，又设 $z= z(x, y)$ 是由方程 $x z=f(2 x-y, x y z)$ 确定的隐函数，则 $\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{\substack{x=1 \\ y=0}}=$

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【33555】 【 第十七届全国大学生数学竞赛初赛（非数学类B类）试题及详细解答】 填空题 设 $f(x)$ 连续，且 $f(x)+f(-x)=2$ ．求 $$ \int_{-1}^1\left(f(x)+x^2 \ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\right) d x= $$

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【33554】 【 第十七届全国大学生数学竞赛初赛（非数学类B类）试题及详细解答】 填空题 设平面过原点与点 $(6,-3,2)$ ，且与平面 $4 x-y+ 2 z-8=0$ 垂直，则此平面方程为

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【33553】 【 第十七届全国大学生数学竞赛初赛（非数学类B类）试题及详细解答】 填空题 已知函数 $y=x^2 \mathrm{e}^{\sin x}$ ，则 $y^{\prime \prime}(0)=$

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【33552】 【 第十七届全国大学生数学竞赛初赛（非数学类A类）试题及详细解答】 证明题 设函数 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续可导且满足以下三个条件： （i） $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=\int_a^b g(x) \mathrm{d} x=0$ ； （ii）$f^{\prime}(x) g(x)-f(x) g^{\prime}(x)>0, x \in[a, b]$ ； （iii）$g(x)$ 在 $(a, b)$ 上有唯一零点 $\xi$ ． 证明：（1） $\int_a^b f(x)\left(\int_a^x g(s) \mathrm{d} s\right) \mathrm{d} x=-\int_a^b g(x)\left(\int_a^x f(s) \mathrm{d} s\right) \mathrm{d} x$ ． （2） $\int_a^b f(x)\left(\int_a^x g(s) \mathrm{d} s\right) \mathrm{d} x>0$ ．

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【33551】 【 第十七届全国大学生数学竞赛初赛（非数学类A类）试题及详细解答】 解答题 判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 的收敛性，其中 $a_n=\sin ^2 x \sin ^2 2 x \ldots \sin ^2 2^n x, x \in(-\infty,+\infty)$

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【33550】 【 第十七届全国大学生数学竞赛初赛（非数学类A类）试题及详细解答】 解答题 设 $\Omega$ 是由平面 $\Pi_1: x=0, \Pi_2: x=y, \Pi_3: y=z, \Pi_4: z=1, \Pi_5: z=2$ 围成的空间区域，求三重积分 $\iiint_{\Omega} \frac{\mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z}{\sqrt{y^2+z^2}}$ ．

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【33549】 【 第十七届全国大学生数学竞赛初赛（非数学类A类）试题及详细解答】 解答题 求微分方程 $y^{\prime} x \ln x \sin y+(1- x \cos y) \cos y=0$ 的通解．

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【33548】 【 第十七届全国大学生数学竞赛初赛（非数学类A类）试题及详细解答】 解答题 设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，在 $x=0$ 处可导，且满足 $f(x)=x^3+x^2 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}-x \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x$ ．求函数 $f(x)$ 的表达式．

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