【33577】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《二次型与实对称矩阵》】 解答题 设 $f(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})$ 是实数域上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的对称双线性函数，$f$ 关于 $V$ 的一个基的度量矩阵为 $\boldsymbol{A}$ ．已知 $n$ 元实二次型 $g(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 的负惯性指数等于 0 ．证明： $$ W=\{\boldsymbol{\alpha} \in V \mid f(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\alpha})=0\} $$ 是 $V$ 的一个子空间，并求 $W$ 的维数 $\operatorname{dim} W$ ．

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【33576】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《二次型与实对称矩阵》】 解答题 （北京大学，2012 年）设 $f(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})$ 是数域 $K$ 上线性空间 $V$ 上的对称双线性函数，已知 $f$ 能分解成 $V$ 上的两个线性函数 $f_1$ 与 $f_2$ 之积： $$ f(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})=f_1(\boldsymbol{\alpha}) f_2(\boldsymbol{\beta}), \quad \forall \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta} \in V . $$ 证明：存在非零常数 $k \in K$ 及线性函数 $g$ ，使 $$ f(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})=k g(\boldsymbol{\alpha}) g(\boldsymbol{\beta}) . $$

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【33575】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《二次型与实对称矩阵》】 解答题 （武汉大学，2014 年；南开大学，2008 年）设 $V$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 维线性空间， $f(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})$ 是 $V$ 上的非退化双线性函数．证明：对任何 $g \in V^*$ ，存在唯一的 $\boldsymbol{\alpha} \in V$ ，使得 $$ g(\boldsymbol{\beta})=f(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}), \quad \forall \boldsymbol{\beta} \in V . $$

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【33574】 【 第十七届全国大学生数学竞赛初赛（数学类B类）试题及详细解答】 解答题 设 $f \in C^1[0,1]$ 满足 $$ f(x) \ln ^2 x+x f^{\prime}(x) \leqslant 0, \quad \forall x \in(0,1) . $$ 证明下列结论之一成立： （1） $\int_0^1 f(t) d t<\int_0^x f(t) d t \leqslant 0(\forall x \in(0,1))$ ； （2）$f(x)=0(\forall x \in[0,1])$ ．

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【33573】 【 第十七届全国大学生数学竞赛初赛（数学类B类）试题及详细解答】 解答题 设 $k$ 为正整数． （1）证明：对任何 $k \geqslant 1$ ，方程 $x^{3 k+1}+x^2-6 x+1=0$ 在 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 内有唯一根 $x_k$ ； （2）证明：点列 $\left\{x_k\right\}$ 严格单减； （3）求极限 $\lim _{k \rightarrow+\infty} x_k$ ．

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【33572】 【 第十七届全国大学生数学竞赛初赛（数学类B类）试题及详细解答】 解答题 设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，其主对角线上的元素皆为 3 ，其余位置上的元素不是 2 就是 2029．证明： $\operatorname{rank} A=n$ 或 $n-1$

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【33571】 【 第十七届全国大学生数学竞赛初赛（数学类B类）试题及详细解答】 解答题 设 $m, n$ 为大于 2 的整数，$a_1, \cdots, a_{m+1}$ 为任意 $m+1$ 个有理数， $\mathbb{Q}^{n \times n}$ 为有理数域上 $n$ 阶方阵全体．证明： （1） $\mathbb{Q}^{n \times n}$ 中存在 $m$ 个元素 $B_1, \cdots, B_m$ 使得行列式 $\left|B_j\right|=j(j=1, \cdots, m)$ 成立． （2） $\mathbb{Q}^{n \times n}$ 中存在 $m$ 个元素 $A_1, \cdots, A_m$ 使得下列两条同时成立： （i）$\left|A_j\right|=a_j(j=1, \cdots, m)$ ； （ii）$\left|A_1-A_2-\cdots-A_m\right|=a_{m+1}$ ．

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【33570】 【 第十七届全国大学生数学竞赛初赛（数学类B类）试题及详细解答】 解答题 设 $N \geqslant 1, \mathcal{S}$ 是包含 $N$ 个整数的集合，满足如下的加性唯一性条件： 若 $n_k \in \mathcal{S}(1 \leqslant k \leqslant 4)$ 且 $n_1+n_2=n_3+n_4$ ，则必有 $n_1=n_3$ 或 $n_1=n_4$ ．令 $f(x):=\sum_{n \in \mathcal{S}} e^{2 \pi i n x}$ ． （1）计算 $\int_0^1|f(x)|^2 d x, \int_0^1|f(x)|^4 d x$ ． （2）证明： $\int_0^1|f(x)| d x \geqslant \frac{1}{2 \sqrt{N}}$ ．

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【33569】 【 第十七届全国大学生数学竞赛初赛（数学类B类）试题及详细解答】 解答题 三角形三条中线的交点称为三角形的重心．在四面体 $A B C D$中，记 $\overrightarrow{e_1}:=\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{e_2}:=\overrightarrow{A C}, \overrightarrow{e_3}:=\overrightarrow{A D}$ ，并设 $O_1, O_2$ 和 $O_3$ 分别为 $\triangle B C D, \triangle A C D$ 和 $\triangle A B D$ 的重心． （1）在坐标系 $\left\{A, \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2}, \overrightarrow{e_3}\right\}$ 下，求 $O_1$ 点的坐标 $(x, y, z)$ ，其中 $$ \overrightarrow{A O_1}=x \overrightarrow{e_1}+y \overrightarrow{e_2}+z \overrightarrow{e_3} ; $$ （2）证明三直线 $A O_1, B O_2$ 及 $C O_3$ 相交于一点 $P$ ； （3）在坐标系 $\left\{A, \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2}, \overrightarrow{e_3}\right\}$ 下，求（2）中交点 $P$ 的坐标．

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【33568】 【 第十七届全国大学生数学竞赛初赛（数学类A类）试题及详细解答】 解答题 设 $\mathcal{A}$ 为正整数集 $\mathbb{Z}_{+}$的子集， $\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{S_n(0,1)}{n}$ 存在，记为 $p$ ，其中对于 $0 \leqslant a \leqslant b \leqslant 1, S_n(a, b)$ 表示集合 $\{k \in \mathcal{A} \mid a n \leqslant k \leqslant b n\}$ 的元素个数． （1）若 $0<a<b<1$ ，证明极限 $\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{S_n(a, b)}{n}$ 存在并求其值． （2）若 $f$ 在 $[0,1]$ 上 Riemann 可积，证明： $$ \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n} \sum_{k \leqslant n, k \in \mathcal{A}} f\left(\frac{k}{n}\right)=p \int_0^1 f(x) d x $$

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