试题

设 $\mathcal{A}$ 为正整数集 $\mathbb{Z}_{+}$的子集， $\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{S_n(0,1)}{n}$ 存在，记为 $p$ ，其中对于 $0 \leqslant a \leqslant b \leqslant 1, S_n(a, b)$ 表示集合 $\{k \in \mathcal{A} \mid a n \leqslant k \leqslant b n\}$ 的元素个数．
（1）若 $0 < a < b < 1$ ，证明极限 $\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{S_n(a, b)}{n}$ 存在并求其值．
（2）若 $f$ 在 $[0,1]$ 上 Riemann 可积，证明：

$$
\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n} \sum_{k \leqslant n, k \in \mathcal{A}} f\left(\frac{k}{n}\right)=p \int_0^1 f(x) d x
$$

答案