【33587】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《二次型与实对称矩阵》】 解答题 设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=a\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)+2 x_1 x_2-2 x_2 x_3+2 x_3 x_1$ ． （1）问当 $a$ 取何值时，$f$ 为正定二次型？ （2）取 $a=1$ ，试用非退化线性替换把 $f$ 化为规范形，并写出所用线性替换； （3）取 $a=1$ ，问当 $b$ 取何值时，矩阵 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & b\end{array}\right)$ 与 $f$ 的矩阵 $\boldsymbol{A}$ 合同？

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【33586】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《二次型与实对称矩阵》】 解答题 （武汉大学，2011年；北京师范大学，1995年）设 $n$ 元实二次型 $f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$的秩为 $n$ ，正、负惯性指数分别为 $p, q$ ，且 $p \geqslant q>0$ ． （1）证明存在 $\mathbb{R}^n$ 的一个 $q$ 维子空间 $W$ ，使 $\forall x_0 \in W, f\left(x_0\right)=0$ ； （2）令 $T=\left\{\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n \mid f(\boldsymbol{x})=0\right\}$ ，问 $T$ 是否与 $W$ 相等？为什么？

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【33585】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《二次型与实对称矩阵》】 解答题 （华南理工大学，2016 年）设 $l_i=c_{i 1} x_1+c_{i 2} x_2+\cdots+c_{i n} x_n, i=1,2, \cdots, p+q$ ，这里 $c_{i j} \in \mathbb{R}$ ．试证明：$n$ 元实二次型 $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=l_1^2+l_2^2+\cdots+l_p^2-l_{p+1}^2-\cdots-l_{p+q}^2$ 的正惯性指数 $\leqslant p$ ，负惯性指数 $\leqslant q$ ．

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【33584】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《二次型与实对称矩阵》】 解答题 （北京交通大学，2015 年）设 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 为 $n$ 阶实对称矩阵， $\operatorname{rank} \boldsymbol{A}=n$ ，作实二次型 $$ f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{i j} x_i x_j, \quad g\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{A_{i j}}{|\boldsymbol{A}|} x_i x_j, $$ 其中 $A_{i j}$ 是 $a_{i j}$ 的代数余子式 $(i, j=1,2, \cdots, n)$ ．证明：$f$ 与 $g$ 具有相同的正、负惯性指数．

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【33583】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《二次型与实对称矩阵》】 解答题 （华东师范大学，2000 年）求一可逆线性替换，把二次型 $$ 2 x_1^2-2 x_1 x_2+5 x_2^2-4 x_1 x_3+4 x_3^2 $$ 与 $$ \frac{3}{2} x_1^2-2 x_1 x_3+3 x_2^2-4 x_2 x_3+2 x_3^2 $$ 同时化为标准形．

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【33582】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《二次型与实对称矩阵》】 解答题 （上海大学，2007 年）设二次型 $f(\boldsymbol{x})=2 x_1^2+2 x_2^2+a x_3^2+2 x_1 x_2+2 b x_1 x_3+2 x_2 x_3$ 经过正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P} \boldsymbol{y}$ 化为标准形 $f=y_1^2+y_2^2+4 y_3^2$ ．求参数 $a, b$ 及正交矩阵 $\boldsymbol{P}$ ．

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【33581】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《二次型与实对称矩阵》】 解答题 （武汉大学，2003 年）求实二次型 $$ f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=n \sum_{i=1}^n x_i^2-\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)^2 $$ 的秩和正、负惯性指数 $(n \geqslant 2)$ ．

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【33580】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《二次型与实对称矩阵》】 解答题 （北京交通大学，2004 年）设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶可逆实矩阵，$B=\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} & \boldsymbol{O}\end{array}\right)$ ．求 $\boldsymbol{B}$ 的正、负惯性指数．

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【33579】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《二次型与实对称矩阵》】 解答题 （南京理工大学，2007 年）设 $V$ 是复数域上的线性空间，其维数 $n \geqslant 2, f(\boldsymbol{\alpha}$ ， $\boldsymbol{\beta}$ ）是 $V$ 上的一个对称双线性函数． （1）证明 $V$ 中有非零向量 $\boldsymbol{\xi}$ ，使 $f(\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\xi})=0$ ； （2）如果 $f(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})$ 是非退化的，那么必有线性无关的向量 $\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta} \in V$ ，满足 $$ f(\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta})=1, \quad f(\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\xi})=f(\boldsymbol{\eta}, \boldsymbol{\eta})=0 $$

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【33578】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《二次型与实对称矩阵》】 解答题 （北京大学，1999 年）设实数域上的矩阵 $\boldsymbol{A}$ 为 $$ A=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 6 & -2 \\ 1 & -2 & 2 \end{array}\right) . $$ （1）判断 $\boldsymbol{A}$ 是否为正定矩阵，要求写出理由； （2）设 $V$ 是实数域上的 3 维线性空间，$V$ 上的一个双线性函数 $f(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})$ 在 $V$ 的一个基 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 下的度量矩阵为 $\boldsymbol{A}$ ．证明 $f(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})$ 是 $V$ 的一个内积，并且求出 $V$ 对于这个内积所成的欧氏空间的一个标准正交基．

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