【33607】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《欧氏空间》】 解答题 （上海交通大学，2003 年）设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶实反对称矩阵， $\boldsymbol{B}=\operatorname{diag}\left(a_1, a_2, \cdots\right.$ ， $\left.a_n\right)$ ，其中 $a_i>0, i=1,2, \cdots, n$ ．证明：$|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}|>0$ ．

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【33606】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《欧氏空间》】 解答题 （北京师范大学，1996 年）设 $\boldsymbol{A}$ 是实反对称矩阵．证明： （1） $\boldsymbol{A}$ 的非零特征值为纯虚数； （2）若 $\boldsymbol{A}$ 可逆，则 $\boldsymbol{A}^2+\boldsymbol{A}^{-1}$ 可逆，且 $\boldsymbol{B}=\left(\boldsymbol{A}^2-\boldsymbol{A}^{-1}\right)\left(\boldsymbol{A}^2+\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{-1}$ 是正交矩阵．

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【33605】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《欧氏空间》】 解答题 （兰州大学，2009 年；华南理工大学，2005 年）设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶正交矩阵，其特征值均为实数．证明： $\boldsymbol{A}$ 是对称矩阵．

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【33604】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《欧氏空间》】 解答题 （华南理工大学，2008 年；北京邮电大学，2002 年）设 $A$ 是 $n$ 阶实可逆矩阵。证明：存在正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 和主对角元全为正实数的上三角矩阵 $\boldsymbol{R}$ ，使得 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{Q R}$ ，并且这个表达式是唯一的。

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【33603】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《欧氏空间》】 解答题 （武汉大学，1996 年）设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}0 & b & -c \\ -b & 0 & a \\ c & -a & 0\end{array}\right)$ 为实矩阵，令 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}^2+q \boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}$ ，这里 $q=a^2+b^2+c^2, \boldsymbol{E}$ 为三阶单位矩阵。问：当且仅当 $q$ 为何值时，矩阵 $\boldsymbol{B}$ 是正交矩阵？

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【33602】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《欧氏空间》】 解答题 （中国科学院大学，2013 年）设 $\boldsymbol{A}$ 是三阶正交矩阵，证明 $\boldsymbol{A}$ 可以写成 $\boldsymbol{C R}$ ，其中 $\boldsymbol{C}$ 对应于 $\mathbb{R}^3$ 中的旋转变换， $\boldsymbol{R}$ 对应于 $\mathbb{R}^3$ 的恒等变换或对应于 $\mathbb{R}^3$ 中的镜面反射变换．

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【33601】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《欧氏空间》】 解答题 （浙江大学，2006 年）证明如下（I）和（II）是等价的： （I）方阵 $\boldsymbol{A}$ 是正交矩阵； （II）实方阵 $\boldsymbol{A}$ 的行列式等于 $\pm 1$ ，并且当 $|\boldsymbol{A}|=1$ 时， $\boldsymbol{A}$ 的每一个元素等于该元素的代数余子式，当 $|\boldsymbol{A}|=-1$ 时， $\boldsymbol{A}$ 的每一个元素等于该元素的代数余子式乘－1．

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【33600】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《欧氏空间》】 解答题 （上海交通大学，1997 年；四川大学，2002 年）已知线性无关向量组 $\boldsymbol{e}_1$ ， $\boldsymbol{e}_2, \cdots, \boldsymbol{e}_s$ 和两个非零正交向量组 $\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2, \cdots, \boldsymbol{f}_s ; \boldsymbol{g}_1, \boldsymbol{g}_2, \cdots, \boldsymbol{g}_s$ ，使 $\boldsymbol{f}_k$ 与 $\boldsymbol{g}_k(k=1,2, \cdots, s)$ 可由 $\boldsymbol{e}_1$ ， $e_2, \cdots, e_k$ 线性表出．求证：$g_k=a_k f_k\left(k=1,2, \cdots, s\right.$ ，其中 $\left.a_k \neq 0\right)$ ．

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【33599】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《欧氏空间》】 解答题 （曲阜师范大学，2008年）设 $w_1, w_2, w_3$ 是欧氏空间 $V$ 中两两正交的向量，$V$中的向量 $v$ 不能由 $w_1, w_2, w_3$ 线性表示．设 $\theta_1, \theta_2, \theta_3$ 分别为 $v$ 与 $w_1, w_2, w_3$ 的夹角，证明： $\cos ^2 \theta_1+\cos ^2 \theta_2+\cos ^2 \theta_3<1$ ．

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【33598】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《欧氏空间》】 解答题 设 $V_1, V_2$ 是4 维欧氏空间 $\mathbb{R}^4$ 的两个线性子空间，其中 $V_1$ 是由向量 $$ \boldsymbol{\alpha}_1=(1,0,1,-2), \boldsymbol{\alpha}_2=(1,2,-1,0), \boldsymbol{\alpha}_3=(1,1,0,-1) $$ 生成的子空间，$V_2$ 是由向量 $$ \boldsymbol{\beta}_1=(0,-2,2,-2), \boldsymbol{\beta}_2=(-1,3,0,4), \boldsymbol{\beta}_3=(1,5,0,2), \boldsymbol{\beta}_4=(-1,1,2,2) $$ 生成的子空间，求 $V_1$ 与 $V_2$ 的和空间的正交补．

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