【33627】 【 周民强-法反常积分】 解答题 判别下列积分的收敛性： （1）$I=\int_0^{1 / 2} x^{p-1}|\ln x|^q \mathrm{~d} x$ ． （2）$I=\int_0^1 \frac{\cos (1 /(1-x))}{\sqrt[p]{1-x^2}} \mathrm{~d} x$ ．

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【33626】 【 周民强-法反常积分】 解答题 （1）$I=\int_0^1 \frac{\sin x}{x^p} \mathrm{~d} x(1<p<2)$ ． （2）$I=\int_0^1 \frac{\cos \frac{1}{1-x} \cdot \arctan \sqrt{1-x}}{1-x} \mathrm{~d} x$ ．

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【33625】 【 周民强-法反常积分】 解答题 判别下列积分的敛散性： （1）$I=\int_0^1 \frac{\ln \left(1+\sqrt[3]{x^2}\right)}{\sqrt{x} \sin \sqrt{x}} \mathrm{~d} x$. （2）$I=\int_0^2 \frac{\sqrt{x} \mathrm{~d} x}{\mathrm{e}^{\sin x}-1}$ ．

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【33624】 【 周民强-法反常积分】 解答题 计算下列瑕积分的值： （1）$I=\int_{-1}^1 \frac{\mathrm{~d} x}{(a-x) \sqrt{1-x^2}}(a>1)$ 。 （2）$I=\int_a^b \frac{x \mathrm{~d} x}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}$ ． （3）$I=\int_0^a \frac{\mathrm{~d} x}{x|\ln x|^p}(0<a<1)$ ．

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【33623】 【 周民强-法反常积分】 解答题 判定瑕积分 $I=\int_0^1 \frac{\ln x}{(1+x)^2} \mathrm{~d} x$ 的敛散性及求其值．

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【33622】 【 周民强-法反常积分】 解答题 判别下列积分的绝对收敛性： （1）$I=\int_1^{+\infty} x \cdot \sin x^4 \cdot \sin x \mathrm{~d} x$ ． （2）$I=\int_0^{+\infty} \sin ^3\left(x^2+2 x\right) \mathrm{d} x$ ．

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【33621】 【 周民强-法反常积分】 解答题 试证明下列积分收敛： （1）$I=\int_1^{+\infty} \frac{\sin x}{x^p} \arctan x \mathrm{~d} x(p>0)$ ． （2）$I=\int_0^{+\infty} \frac{x}{\sqrt{x+1}} \sin \left(x^2\right) \mathrm{d} x$ ． （3）$I=\int_1^{+\infty} \frac{x \cos x}{x^p+x^q} \mathrm{~d} x(\max \{p, q\}>1)$ ．

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【33620】 【 高等代数竞赛习题选】 解答题 设 $P$ 为对称酉矩阵，证明：存在可逆复矩阵 $Q$ 使得 $P=\bar{Q} Q^{-1}$.

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【33619】 【 高等代数竞赛习题选】 解答题 设 $f(x)=x^{2021}+a_{2020} x^{2020}+a_{2019} x^{2019}+ \cdots+a_2 x^2+a_1 x+a_0$ 为整系数多项式，$a_0 \neq 0$ ．设对任意 $0 \leq k \leq 2020$ 有 $\left|a_k\right| \leq 40$ ，证明：$f(x)=0$ 的根不可能全为实数．

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【33618】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《欧氏空间》】 解答题 （南京大学，2009 年）设 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 是欧氏空间 $\mathbb{R}^n$ 中的两个非零列向量．求证： $\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}>0$ 的充分必要条件是存在正定矩阵 $\boldsymbol{A}$ 使得 $\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}$ ．

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