【33597】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《欧氏空间》】 解答题 （北京交通大学，1999 年；湘潭大学，2005 年）已知 $n$ 维欧氏空间 $V$ 中的 $n+1$个向量 $\boldsymbol{\alpha}_0, \boldsymbol{\alpha}_1, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 的两两间距离均为 $\delta>0$ ，令 $\boldsymbol{\beta}_i=\boldsymbol{\alpha}_i-\boldsymbol{\alpha}_0, i=1,2, \cdots, n$ ．求证： （1）$\left(\boldsymbol{\beta}_i, \boldsymbol{\beta}_j\right)=\frac{1}{2} \delta^2$ ，其中 $i \neq j, i, j=1,2, \cdots, n$ ； （2）向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_n$ 线性无关．

---

【33596】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《欧氏空间》】 解答题 （北京大学，2005 年）设实数域 $\mathbb{R}$ 上 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{H}$ 的 $(i, j)$ 元为 $\frac{1}{i+j-1}(n>1)$ ．在实数域上 $n$ 维线性空间 $\mathbb{R}^n$ 中，对于 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta} \in \mathbb{R}^n$ ，令 $f(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})=\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{H} \boldsymbol{\beta}$ ．试问：$f$ 是不是 $\mathbb{R}^n$ 上的一个内积？写出理由．

---

【33595】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《欧氏空间》】 解答题 （武汉大学，2011 年）设在 $n$ 维欧氏空间 $V$ 中，向量 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 的内积记为 $(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})$ ， $T$ 为 $V$ 的线性变换．对于 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta} \in V$ ，定义二元函数 $f(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})=(T(\boldsymbol{\alpha}), T(\boldsymbol{\beta}))$ 。问 $f(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})$ 是否为 $V$ 的内积？请阐述理由．

---

【33594】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《二次型与实对称矩阵》】 解答题 （东北大学，2003 年）设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，$x$ 为任一 $n$ 维非零实向量．证明：存在 $\boldsymbol{A}$ 的一个特征向量 $\boldsymbol{\xi}$ ，使 $\boldsymbol{\xi} \in L\left(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{A x}, \boldsymbol{A}^2 \boldsymbol{x}, \cdots\right)$ ，这里 $L\left(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{A x}, \boldsymbol{A}^2 \boldsymbol{x}, \cdots\right)$ 表示由 $\boldsymbol{x}$ ， $\boldsymbol{A x}, \boldsymbol{A}^2 \boldsymbol{x}, \cdots$ 生成的子空间．

---

【33593】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《二次型与实对称矩阵》】 解答题 （中国科学院，2001年；湖南大学，2002年）设 $A, B$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，试证明： $$ \operatorname{tr}(A B A B) \leqslant \operatorname{tr}(A A B B) $$ 其中 $\operatorname{tr} \boldsymbol{A}$ 表示方阵 $\boldsymbol{A}$ 的迹（即 $\boldsymbol{A}$ 的对角元素之和）．

---

【33592】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《二次型与实对称矩阵》】 解答题 （东南大学，2005年）假设 3 阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 2 ，并且 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{C}$ ，其中 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 0 & 0 \\ -1 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{C}=\left(\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ 0 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right)$ ，求 $\boldsymbol{A}$ 的所有特征值及相应的特征向量，并求矩阵 $\boldsymbol{A}$ 及 $\boldsymbol{A}^{9999}$ 。

---

【33591】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《二次型与实对称矩阵》】 解答题 （南京大学，2014 年；浙江大学，2008 年）已知 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rrrr}0 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1 & 0\end{array}\right)$ ，求正交矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使 $\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A P}$ 成为对角矩阵．

---

【33590】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《二次型与实对称矩阵》】 解答题 （中国科学院，2003 年）设 $\boldsymbol{Q}$ 为 $n$ 阶实对称正定矩阵， $\boldsymbol{x}$ 是 $n$ 维实列向量．证明： $$ 0 \leqslant \boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{Q}+\boldsymbol{x} \boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\right)^{-1} \boldsymbol{x}<1 $$ 这里 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}$ 表示 $\boldsymbol{x}$ 的转置．

---

【33589】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《二次型与实对称矩阵》】 解答题 （厦门大学，2006 年）设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，证明 $\boldsymbol{A}$ 可逆的充分必要条件是存在矩阵 $\boldsymbol{B}$ 使 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}+\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}$ 为正定矩阵，其中 $\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}$ 为 $\boldsymbol{B}$ 的转置矩阵．

---

【33588】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《二次型与实对称矩阵》】 解答题 （中国科学院，2004 年）设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为同阶实对称正定矩阵，且 $\boldsymbol{A}>\boldsymbol{B}$（即 $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}$ 为正定矩阵），试问是否一定有 $\boldsymbol{A}^2>\boldsymbol{B}^2$ ？为什么？

---

... 621 622 623 624 625  ...