【33567】 【 第十七届全国大学生数学竞赛初赛（数学类A类）试题及详细解答】 解答题 设 $f \in C[0,1] \cap C^2(0,1), \sup _{x \in(0,1)} f^{\prime \prime}(x)=2$ ．证明：存在唯一的二次多项式 $P(x)=x^2+b x+c$ ，使得 $P(0)-f(0)=P(1)-f(1)=0$ ，且下列结论之一成立： （1）$f(x)>P(x)(\forall x \in(0,1))$ ； （2）$f(x)=P(x)(\forall x \in[0,1])$ ．

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【33566】 【 第十七届全国大学生数学竞赛初赛（数学类A类）试题及详细解答】 解答题 设 $K$ 为数域， $\mathcal{A}: V \rightarrow V$ 是 $n$ 维 $K$－向量空间 $V$ 上的线性算子（线性变换），$\mu_{\mathcal{A}}(x), \chi_{\mathcal{A}}(x) \in K[x]$ 分别是 $\mathcal{A}$ 的极小多项式和特征多项式．证明： （1）存在 $\alpha \in V$ 使 $\mu_{\mathcal{A}}(x)=\mu_{\mathcal{A}, \alpha}(x)$ ，其中 $\mu_{\mathcal{A}, \alpha}(x)$ 是集合 $$ \{f(x) \in K[x] \mid f(\mathcal{A})(\alpha)=0\} $$ 中首项系数为 1 ，次数最小的多项式； （2）$K[\mathcal{A}] \cdot \alpha:=\{f(\mathcal{A})(\alpha) \mid \forall f(x) \in K[x]\}$ 是 $\operatorname{deg} \mu_{\mathcal{A}, \alpha}(x)$ 维 $\mathcal{A}$－不变子空间； （3）设 $\mathcal{B}: V \rightarrow V$ 是任意线性算子．若 $\mu_{\mathcal{A}}(x)=\chi_{\mathcal{A}}(x)$ ，则 $$ \mathcal{A} \cdot \mathcal{B}=\mathcal{B} \cdot \mathcal{A} \Longleftrightarrow \text { 存在 } f(x) \in K[x] \text { 使 } \mathcal{B}=f(\mathcal{A}) \text {. } $$

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【33565】 【 第十七届全国大学生数学竞赛初赛（数学类A类）试题及详细解答】 解答题 设 $m, n$ 为大于 2 的整数，$a_1, \cdots, a_{m+1}$ 为任意 $m+1$ 个有理数， $\mathbb{Q}^{n \times n}$ 为有理数域上 $n$ 阶方阵全体．证明： （1） $\mathbb{Q}^{n \times n}$ 中存在 $m$ 个元素 $B_1, \cdots, B_m$ 使得行列式 $\left|B_j\right|=j(j=1, \cdots, m)$ 成立． （2） $\mathbb{Q}^{n \times n}$ 中存在 $m$ 个元素 $A_1, \cdots, A_m$ 使得下列两条同时成立： （i）$\left|A_j\right|=a_j(j=1, \cdots, m)$ ； （ii）$\left|A_1-A_2-\cdots-A_m\right|=a_{m+1}$ ．

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【33564】 【 第十七届全国大学生数学竞赛初赛（数学类A类）试题及详细解答】 解答题 设 $N \geqslant 1, \mathcal{S}$ 是包含 $N$ 个整数的集合，满足如下的加性唯一性条件： 若 $n_k \in \mathcal{S}(1 \leqslant k \leqslant 4)$ 且 $n_1+n_2=n_3+n_4$ ，则必有 $n_1=n_3$ 或 $n_1=n_4$ ．令 $f(x):=\sum_{n \in \mathcal{S}} e^{2 \pi i n x}$ ． （1）计算 $\int_0^1|f(x)|^2 d x, \int_0^1|f(x)|^4 d x$ ． （2）证明： $\int_0^1|f(x)| d x \geqslant \frac{1}{2 \sqrt{N}}$ ．

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【33563】 【 第十七届全国大学生数学竞赛初赛（数学类A类）试题及详细解答】 解答题 记三维欧氏空间中不共面的四点 $A, B, C, D$ 生成的四面体为 $A B C D$ ．在四面体 $A B C D$ 内部取一点 $O$ ，设四面体 $O B C D$ 的体积为 $V_A$ ，四面体 $O A C D$ 的体积为 $V_B$ ，四面体 $O A B D$ 的体积为 $V_C$ ，四面体 $O A B C$ 的体积为 $V_D$ ． （1）求证：$(\overrightarrow{O A} \cdot(\overrightarrow{O C} \times \overrightarrow{O D}))(\overrightarrow{O B} \cdot(\overrightarrow{O C} \times \overrightarrow{O D}))<0$ ； （2）求证：$V_A \overrightarrow{O A}+V_B \overrightarrow{O B}+V_C \overrightarrow{O C}+V_D \overrightarrow{O D}=\overrightarrow{0}$ ． [img=/uploads/2025-11/ef5c8d.jpg][/img]

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【33562】 【 第十七届全国大学生数学竞赛初赛（非数学类B类）试题及详细解答】 解答题 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有连续的导数，记 $A=\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ ．试证明： $$ \int_a^b|f(x)-A|^2 \mathrm{~d} x \leqslant \frac{(a-b)^2}{2} \int_a^b\left|f^{\prime}(x)\right|^2 \mathrm{~d} x $$

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【33561】 【 第十七届全国大学生数学竞赛初赛（非数学类B类）试题及详细解答】 解答题 （1）设函数 $f(x)=\sin ^2 x \sin 2 x$ ，讨论 $f(x)$ 在区间 $(0, \pi)$ 的单调性； （2）判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 的收敛性，其中 $$ a_n=\sin ^2 x \sin ^2 2 x \ldots \sin ^2 2^n x, x \in(-\infty,+\infty) $$

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【33560】 【 第十七届全国大学生数学竞赛初赛（非数学类B类）试题及详细解答】 解答题 求微分方程 $y^{\prime} x \ln x \sin y+(1- x \cos y) \cos y=0$ 的通解．

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【33559】 【 第十七届全国大学生数学竞赛初赛（非数学类B类）试题及详细解答】 解答题 求由方程 $2 x^2+2 y^2+z^2+8 x z- z+8=0$ 所确定的函数 $z=z(x, y)$ 的极值．

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【33558】 【 第十七届全国大学生数学竞赛初赛（非数学类B类）试题及详细解答】 解答题 设 $a, b$ 为常数，函数 $f(x, y)= a x^2+b y^2+1$ 在点 $(4,3)$ 处的所有方向导数中，沿方向 $\mathbf{I}= -4 i-3 j$ 的方向导数最大，最大值为 10 ． （1）求 $a, b$ 的值； （2）求曲面 $z=f(x, y)$ 被平面 $z=0$ 所截下的有限部分的面积．

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