试题

设 $N \geqslant 1, \mathcal{S}$ 是包含 $N$ 个整数的集合，满足如下的加性唯一性条件：

若 $n_k \in \mathcal{S}(1 \leqslant k \leqslant 4)$ 且 $n_1+n_2=n_3+n_4$ ，则必有 $n_1=n_3$ 或 $n_1=n_4$ ．令 $f(x):=\sum_{n \in \mathcal{S}} e^{2 \pi i n x}$ ．
（1）计算 $\int_0^1|f(x)|^2 d x, \int_0^1|f(x)|^4 d x$ ．
（2）证明： $\int_0^1|f(x)| d x \geqslant \frac{1}{2 \sqrt{N}}$ ．

答案