【33546】 【 第十七届全国大学生数学竞赛初赛（非数学类A类）试题及详细解答】 填空题 设函数 $f(u, v)$ 具有一阶连续偏导数，$f(2,0)=3, f_u^{\prime}(2,0)=5$ ，又设 $z= z(x, y)$ 是由方程 $x z=f(2 x-y, x y z)$ 确定的隐函数，则 $\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{\substack{x=1 \\ y=0}}=$

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【33545】 【 第十七届全国大学生数学竞赛初赛（非数学类A类）试题及详细解答】 填空题 极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{\sin ^2 x} \ln (1+t) \mathrm{d} t}{\left(\sqrt[3]{1+x^3}-1\right) \sin x}=$

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【33544】 【 第十七届全国大学生数学竞赛初赛（非数学类A类）试题及详细解答】 填空题 设平面过原点与点 $(6,-3,2)$ ，且与平面 $4 x-y+2 z-8=0$ 垂直，则此平面方程为

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【33543】 【 第十七届全国大学生数学竞赛初赛（非数学类A类）试题及详细解答】 填空题 设函数 $f(x)=x-\ln (1+x)-\frac{1}{2} x \sin x, g(x)=a x^3$ ，且满足 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{g(x)}=1$ ，则 $a=$

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【33542】 【 周民强-定积分的基本概念与性质】 解答题 试求下列极限： （1）$I=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \frac{1+2^{\alpha+1}+3^{\alpha+1}+\cdots+n^{\alpha+1}}{1+2^\alpha+3^\alpha+\cdots+n^\alpha}(\alpha>-1)$ ． （2）$I=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^k+3^k+\cdots+(2 n-1)^k}{n^{k+1}}(k \geqslant 0)$ ．

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【33541】 【 周民强-定积分的基本概念与性质】 解答题 试证明下列极限等式： （1）$I=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \sec ^2 \frac{i \pi}{4 n}=\frac{4}{\pi}$ ． （2）$I=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \sin \frac{k \pi}{n} /\left[n+\frac{k}{n}\right]=\frac{2}{\pi}$ ．

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【33540】 【 周民强-定积分的基本概念与性质】 解答题 试证明 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin (2 n+1) x}{\sin x} \mathrm{~d} x=\frac{\pi}{2}(n=1,2, \cdots)$ ．

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【33539】 【 周民强-定积分的基本概念与性质】 解答题 试证明下列命题： （1）设 $f \in C^{(1)}([0,1])$ ，且 $f(0)=0, f(1)=1$ ，则 $$ \int_0^1\left|f(x)-f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \geqslant \frac{1}{\mathrm{e}} . $$ （2）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可微，且 $f^{\prime} \in R([a, b])$ ，则 $$ |f(y)-f(x)| \leqslant M|y-x|^{1 / 2} . $$ （3）设 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上二次可导，且有 $f(1)=0,\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant M(0 \leqslant x \leqslant 2)$ ，则 $$ \left|\int_0^2 f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{M}{3} $$

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【33538】 【 周民强-定积分的基本概念与性质】 解答题 Jensen 积分不等式）设 $f \in R([0,1])$ ，且 $m \leqslant f(x) \leqslant M, x \in[0$ ， $1]$ ，又连续函数 $\varphi(x)$ 在 $[m, M]$ 上是（下）凸的，则 $$ \left.\varphi \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x\right] \leqslant \int_0^1 \varphi[f(x)] \mathrm{d} x $$

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【33537】 【 周民强-定积分的基本概念与性质】 解答题 解答下列问题： （1）求定积分 $\int_a^b x \sqrt{|x|} \mathrm{d} x$ 。 （2）证明 $\ln (q / p) \leqslant(q-p) / p(0<p<q)$ 。 （3）求下述定积分之值： （i）$I=\int_0^1\left[\int_0^1 \min \{x, y\} \mathrm{d} y\right] \mathrm{d} x$. （ii）$\left.I=\int_0^1 \int_0^1 \max \{x, y\} \mathrm{d} y\right\} \mathrm{d} x$ ．

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