【33476】 【 2025年北京大学高等数学A春季学期期末考试试题及详细参考解答】 解答题 求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3 n-1}$ 的和．

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【33475】 【 2025年北京大学高等数学A春季学期期末考试试题及详细参考解答】 解答题 求函数 $f(x)=\arctan \frac{1-2 x}{1+2 x}$ 在 $x=0$ 处的幂级数展开式，并求级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2 n+1}$ 的和．

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【33474】 【 2025年北京大学高等数学A春季学期期末考试试题及详细参考解答】 解答题 根据 $\alpha$ 的取值讨论级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\sqrt[n]{\alpha}-\sqrt{1+\frac{1}{n}}\right)(\alpha>0)$ 的敛散性，若非正项级数，需讨论绝对收敛性和条件收敛性．

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【33473】 【 2025年北京大学高等数学A春季学期期末考试试题及详细参考解答】 解答题 根据 $p$ 的取值讨论级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \ln \left[1+\frac{(-1)^{n-1}}{n^p}\right]$ 的敛散性，若非正项级数，需讨论绝对收敛性和条件收敛性．

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【33472】 【 2025年北京大学高等数学A春季学期期末考试试题及详细参考解答】 解答题 判别正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\cos \frac{1}{\sqrt{n}}\right)^{n^2}$ 的敛散性．

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【33471】 【 2025年北京大学高等数学A春季学期期末考试试题及详细参考解答】 解答题 判别正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\arctan \frac{1}{n}\right)^\alpha \frac{1}{\ln \left(1+n+n^2\right)}(\alpha>0)$ 的敛散性．

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【33470】 【 2025年北京大学高等数学A春季学期期末考试试题及详细参考解答】 解答题 判别正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!\cdot \arctan \left[2+(-1)^n\right]}{n^n}$ 的敛散性．

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【33469】 【 2025年北京大学高等数学A春季学期期末考试试题及详细参考解答】 解答题 判别正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\ln \frac{1}{n}-\ln \sin \frac{1}{n}\right)$ 的敛散性．

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【33468】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《Jordan标准形》】 解答题 （苏州大学，2015 年）设 $\varphi$ 是复数域上 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换．证明： $\varphi$ 可对角化的充分必要条件是对 $\varphi$ 的每一个特征值 $\lambda_0$ 都有 $$ \operatorname{Im}\left(\varphi-\lambda_0 \varepsilon\right) \cap \operatorname{ker}\left(\varphi-\lambda_0 \varepsilon\right)=\{\mathbf{0}\} $$ 这里，$\varepsilon$ 表示恒等变换．

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【33467】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《Jordan标准形》】 解答题 （南京大学，2010 年；北京师范大学，1997 年）设 $A$ 为任意复方阵．证明：存在可与对角矩阵相似的方阵 $\boldsymbol{S}$ 以及幂零方阵 $\boldsymbol{N}$ 使得 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{S}+\boldsymbol{N}$ 并且 $\boldsymbol{S} \boldsymbol{N}=\boldsymbol{N} \boldsymbol{S}$ ．

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