【33486】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》开集、闭集与Borel集3】 解答题 设 $A, B$ 为 $\mathbb{R}^1$ 中的点集．试证明： $$ (A \times B)^{\prime}=\left(\bar{A} \times B^{\prime}\right) \cup\left(A^{\prime} \times \bar{B}\right) . $$

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【33485】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》开集、闭集与Borel集3】 解答题 设 $(X, d)$ 为紧致度量空间 $\left(\right.$ 如 $\mathbb{R}^n$ 中的有界闭集 $\left.X\right),\left\{f_m\right\}$ 为 $X$ 上的连续函数序列，$f$ 为 $X$ 上的连续函数．它们满足： （1）$f_1(\boldsymbol{x}) \geqslant f_2(\boldsymbol{x}) \geqslant \cdots, \forall \boldsymbol{x} \in X ;$ （2） $\lim _{m \rightarrow+\infty} f_{m^*}(\boldsymbol{x})=f(\boldsymbol{x}), \forall \boldsymbol{x} \in X$ ．

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【33484】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》开集、闭集与Borel集3】 解答题 设 $f: \mathbb{R}^1 \rightarrow \mathbb{R}$ 在有理点上取值为无理数，在无理点上取值为有理数．证明：$f$ 不为连续函数．

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【33483】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》开集、闭集与Borel集3】 解答题 设 $F \subset \mathbb{R}^1$ ．为闭集．试构造 $\mathbb{R}^1$ 上单调增的函数 $f(x)$ ，使得 $f \in C^1\left(\mathbb{R}^1\right)$（即 $f$ 为 $\mathbb{R}^1$上的连续可导函数），且 $$ F=\left\{x \in \mathbb{R}^1 \mid f^{\prime}(x)=0\right\} $$

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【33482】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》开集、闭集与Borel集】 解答题 设 $f: \mathbb{R}^1 \rightarrow \mathbb{R}$ 为可导函数．证明： $f^{\prime}$ 为连续函数 $\Leftrightarrow$ 对 $\forall t \in \mathbb{R}$ ，点集 $\left\{x \in \mathbb{R}^1 \mid f^{\prime}(x)=t\right\}$ 为闭集．

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【33481】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》开集、闭集与Borel集】 解答题 设 $f: \mathbb{R}^1 \rightarrow \mathbb{R}$ 为实函数．证明： $f$ 为连续函数 $\Leftrightarrow$ 对 $\forall t \in \mathbb{R}$ ，点集 $\{x \mid f(x) \leqslant t\}$ 与 $\{x \mid f(x) \geqslant t\}$ 都为闭集．

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【33480】 【 2025年北京大学高等数学A春季学期期末考试试题及详细参考解答】 解答题 设 $f(t)=\left(\int_0^t \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{~d} x\right)^2, g(t)=\int_0^1 \frac{\mathrm{e}^{-t^2\left(1+x^2\right)}}{1+x^2} \mathrm{~d} x$ ，证明：$f(t)+g(t)=\frac{\pi}{4}$ ，并由此计算 $\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{~d} x$ ．

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【33479】 【 2025年北京大学高等数学A春季学期期末考试试题及详细参考解答】 解答题 判断广义积分 $\int_1^{+\infty} \frac{\arctan x \cdot \ln x}{x^2} \mathrm{~d} x$ 的敛散性．

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【33478】 【 2025年北京大学高等数学A春季学期期末考试试题及详细参考解答】 解答题 设 $m, n$ 为常数，若反常积分收敛， $\int_0^{+\infty} \frac{x^n\left(1-\mathrm{e}^{-x}\right)}{(1+x)^m} \mathrm{~d} x$ 收敛，求 $m, n$ 的取值范围．

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【33477】 【 2025年北京大学高等数学A春季学期期末考试试题及详细参考解答】 解答题 设 $f(x)$ 是周期为 $2 \pi$ 的函数，在 $[0, \pi]$ 上 $f(x)=x(\pi-x)$ ． （1）证明：$\forall x \in R, f(x)=\frac{8}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin (2 n-1) x}{(2 n-1)^3}$ ； （2）求 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^6}$ ．

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