【33466】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《Jordan标准形》】 解答题 （浙江大学，2005 年）设 $A$ 是复数域上的方阵，证明： （1） $\boldsymbol{A}$ 的特征值全为零的充分必要条件是存在正整数 $m$ ，使 $\boldsymbol{A}^m=\boldsymbol{O}$ ； （2）若存在正整数 $m$ ，使 $\boldsymbol{A}^m=\boldsymbol{O}$ ，则 $\operatorname{det}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})=1$ ，其中 $\boldsymbol{E}$ 表示与 $\boldsymbol{A}$ 同阶的单位矩阵．

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【33465】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《Jordan标准形》】 解答题 （武汉大学，2005年）设 $\boldsymbol{A} \in M_n(K), \lambda_0$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的 $n$ 重特征值，且 $\operatorname{rank}\left(\lambda_0 \boldsymbol{E}-\right. \boldsymbol{A})=n-1$ ． （1）求使 $\left(\lambda_0 \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}\right)^m=\boldsymbol{O}$ 的最小正整数 $m$ ； （2）证明：$\left(\lambda_0 \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}\right)^{n-1}$ 中必存在一个列向量是 $\boldsymbol{A}$ 的属于 $\lambda_0$ 的特征向量．

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【33464】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《Jordan标准形》】 解答题 （浙江大学，2009 年；重庆大学，2010 年；华中师范大学，2014 年）设 $A$ 是 $n$阶复方阵， 0 是 $\boldsymbol{A}$ 的 $k$ 重特征值．证明： $\operatorname{rank} \boldsymbol{A}^k=n-k$ ．

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【33463】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《Jordan标准形》】 解答题 （武汉大学，2013 年）设 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ 是 $n$ 阶实方阵 $\boldsymbol{A}$ 的全部特征值，但 $-\lambda_i(i=1,2, \cdots, n)$ 不是 $\boldsymbol{A}$ 的特征值．定义 $\mathbb{R}^{n \times n}$ 的线性变换 $$ \boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{X})=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{X}+\boldsymbol{X} \boldsymbol{A}, \quad \forall \boldsymbol{X} \in \mathbb{R}^{n \times n} $$ 证明：（1）$\sigma$ 是可逆线性变换； （2）对任意实对称矩阵 $\boldsymbol{C}$ ，必存在唯一的实对称矩阵 $\boldsymbol{B}$ ，使得 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B}+\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{C}$ ．

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【33462】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《Jordan标准形》】 解答题 （南开大学，2010 年）设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 4 & 2 \\ 0 & -3 & 4 \\ 0 & 4 & 3\end{array}\right)$ ，试求 $\boldsymbol{A}^n$ ，其中 $n$ 为正整数．

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【33461】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《Jordan标准形》】 解答题 （华东师范大学，2006 年）设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right), f(x)=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7$ ，求 $f(\boldsymbol{A})$ ．

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【33460】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《Jordan标准形》】 解答题 （中国科学院，2006 年）设 $f$ 是有限维向量空间 $V$ 上的线性变换，且 $f^n$ 是 $V$上的恒同变换，这里 $n$ 是某个正整数．设 $W=\{v \in V \mid f(v)=v\}$ ．证明 $W$ 是 $V$ 的一个子空间，并且其维数等于线性变换 $\frac{f+f^2+\cdots+f^n}{n}$ 的迹．

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【33459】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《Jordan标准形》】 解答题 （中国科学技术大学，2008 年）设实方阵 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 相似且相合，问 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 是否一定正交相似？请证明你的结论。

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【33458】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《Jordan标准形》】 解答题 （浙江大学，2019 年；重庆大学，2006 年）设 $n$ 阶复方阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值全为 1 ，证明：对任意正整数 $k$ ，有 $\boldsymbol{A}^k$ 相似于 $\boldsymbol{A}$ ．

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【33457】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《Jordan标准形》】 解答题 （东南大学，2005 年）设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}1 & a & b \\ 0 & c & d \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{lll}a & 0 & 0 \\ 1 & b & 0 \\ d & 1 & c\end{array}\right)$ ．问：当参数 $a$ ， $b, c, d$ 满足什么条件时，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 是相似的？

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