【33456】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《Jordan标准形》】 解答题 （南开大学，2003 年；重庆大学，2008 年）设 $V$ 是数域 $P$ 上的 3 维线性空间，线性变换 $f: V \rightarrow V$ 在 $V$ 的基 $\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3$ 下的矩阵为 438 第7章 Jordan标准形 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 4 & 6 & -15 \\ 1 & 3 & -5 \\ 1 & 2 & -4 \end{array}\right) $$ 问 $f$ 可否在 $V$ 的某个基下的矩阵为 $$ B=\left(\begin{array}{rcc} 1 & -3 & 3 \\ -2 & -6 & 13 \\ -1 & -4 & 8 \end{array}\right), $$ 为什么？

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【33455】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《Jordan标准形》】 解答题 （中国科学技术大学，1998年）证明：复方阵 $\boldsymbol{A}$ 的最小多项式与特征多项式相等的充分必要条件是： $\boldsymbol{A}$ 的特征子空间都是一维的。

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【33454】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《Jordan标准形》】 解答题 （上海交通大学，2002 年）设 $f(x)$ 是方阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征多项式，$g(x)$ 为任一多项式，有 $(f(x), g(x))=d(x)$ 。证明： $\operatorname{rank}(g(\boldsymbol{A}))=\operatorname{rank}(d(\boldsymbol{A}))$ 。

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【33453】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《Jordan标准形》】 解答题 （南京大学，2002 年）设 $A=e e^T$ ，其中 $e$ 是每个分量都为 1 的 $n$ 维列向量，试求： （1） $\boldsymbol{A}$ 的特征多项式及最小多项式； （2） $\boldsymbol{A}$ 的全部特征值及与之对应的特征向量．

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【33452】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《Jordan标准形》】 解答题 求 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 的最小多项式与 Jordan 标准形，其中 $$ \boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lllll} a & 0 & 1 & & \\ & a & \ddots & \ddots & \\ & & \ddots & \ddots & 1 \\ & & & \ddots & 0 \\ & & & & a \end{array}\right) . $$

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【33451】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《Jordan标准形》】 解答题 （浙江大学，2010 年）设 $a, b$ 是任意两个复数，求 $n$ 阶上三角矩阵 $$ \boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccccc} a & b & \cdots & b & b \\ 0 & a & \cdots & b & b \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a & b \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & a \end{array}\right) $$ 的最小多项式和 Jordan 标准形．

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【33450】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《Jordan标准形》】 解答题 设 $\lambda_0$ 是 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 的一个特征值，$d_1(\lambda), d_2(\lambda), \cdots, d_n(\lambda)$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的所有不变因子，证明：$\lambda_0 \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 的秩为 $r$ 的充分必要条件是 $$ \left(\lambda-\lambda_0\right) \mid d_{r+1}(\lambda), \quad\left(\lambda-\lambda_0\right) \nmid d_r(\lambda) . $$

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【33449】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《Jordan标准形》】 解答题 （东南大学，2002年）设 $\boldsymbol{A}$ 为 4 阶方阵， $\operatorname{rank} \boldsymbol{A}=3$ ，且存在正整数 $k$ ，使 $\boldsymbol{A}^k= \boldsymbol{O}$ ，试求 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{A}^2$ 的 Jordan 标准形．

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【33448】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《Jordan标准形》】 解答题 （武汉大学，2016 年；华中师范大学，1999 年）设 $\sigma$ 是数域 $F$ 上线性空间 $V$ 的线性变换，已知 $\sigma$ 的特征多项式和最小多项式分别为 $$ \begin{aligned} & f(\lambda)=(\lambda+1)^3(\lambda-2)^2(\lambda+3) \\ & m(\lambda)=(\lambda+1)^2(\lambda-2)(\lambda+3) \end{aligned} $$ （1）求 $\sigma$ 的所有不变因子； （2）写出 $\sigma$ 的 Jordan 标准形．

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【33447】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《Jordan标准形》】 解答题 （华东师范大学，2004 年）设 $\boldsymbol{\alpha}=\left(a_1, a_2, \cdots, a_n\right), \boldsymbol{\beta}=\left(b_1, b_2, \cdots, b_n\right)$ 是两个非零的复向量，且 $\sum_{i=1}^n a_i b_i=0$ ，令 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}$ ．试求 $\boldsymbol{A}$ 的 Jordan 标准形以及不变因子．

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