【40271】 【 李永乐2027《线性代数》考研数学训练(基础版) 向量】 解答题 已知 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,0,2,3), \boldsymbol{\alpha}_2=(1,1,3,5), \boldsymbol{\alpha}_3=(1,-1, a+2,1), \boldsymbol{\alpha}_4=(1,2,4, a+8)$及 $\boldsymbol{\beta}=(1,1, b+3,5)$ ． （1）$a, b$ 为何值时， $\boldsymbol{\beta}$ 不能表示成 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 的线性组合？ （2）$a, b$ 为何值时， $\boldsymbol{\beta}$ 有 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 的唯一线性表示式？写出该表示式．

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【40270】 【 李永乐2027《线性代数》考研数学训练(基础版) 向量】 证明题 已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵， $\boldsymbol{B}$ 是 $n \times m$ 矩阵，且 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{E}$ ．证明：$r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{B})=m$ ．

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【40269】 【 李永乐2027《线性代数》考研数学训练(基础版) 向量】 证明题 已知 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性无关，证明： $\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_1$ 线性无关．

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【40268】 【 李永乐2027《线性代数》考研数学训练(基础版) 向量】 单选题 （2024，数农）设向量 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,0,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=(-a, 1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_3=(1,-a, 1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_4=(1,1$ ， $-a)^{\mathrm{T}}$ ，则向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 的秩为 3 的充分必要条件是

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【40267】 【 热力学定律与能量守恒定律】 解答题 如图所示，一定质量理想气体被活塞封闭在汽缸中，活塞的面积为 S ，与汽缸底部相距 $L$ ，汽缸和活塞绝热性能良好，气体的压强、温度与外界大气相同，分别为 $p_0$ 和 $t_0$ 。现接通电热丝加热气体，一段时间后断开，活塞缓慢向右移动距离 $L$ 后停止，活塞与汽缸间的滑动摩擦为 $f$ ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，整个过程中气体吸收的热量为 $Q$ ，求该过程中 （1）内能的增加量 $\Delta U$ ； （2）最终温度 $T$ 。 [img=/uploads/2026-05/349608.jpg][/img]

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【40266】 【 热力学定律与能量守恒定律】 解答题 如图所示，导热良好的固定直立圆筒内用面积 $S=100 \mathrm{~cm}^2$ ，质量 $m=1 \mathrm{~kg}$ 的活塞封闭一定质量的理想气体，活塞能无摩擦滑动。圆筒与温度 300 K 的热源接触，平衡时圆筒内气体处于状态 $A$ ，其体积 $V_A=600 \mathrm{~cm}^3$ 。缓慢推动活塞使气体达到状态 $B$ ，此时体积 $V_B=500 \mathrm{~cm}^3$ 。固定活塞，升高热源温度，气体达到状态 $C$ ，此时压强 $p_C=1.4 \times 10^5 \mathrm{~Pa}$ 。已知从状态 $A$ 到状态 $C$ ，气体从外界吸收热量 $Q=$ 14J；从状态 $B$ 到状态 $C$ ，气体内能增加 $\Delta U=25 \mathrm{~J}$ ；大气压 $p_0=1.01 \times 10^5 \mathrm{~Pa}$ 。 [img=/uploads/2026-05/10b52c.jpg][/img] （1）气体从状态 $A$ 到状态 $B$ ，其分子平均动能 $\_\_\_\_$ （选填＂增大＂、＂减小＂或＂不变＂），圆筒内壁单位面积受到的压力 $\_\_\_\_$ （选填＂增大＂、＂减小＂或＂不变＂）； （2）求气体在状态 $C$ 的温度 $T c$ ； （3）求气体从状态 $A$ 到状态 $B$ 过程中外界对系统做的功 $W$ 。

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【40265】 【 热力学定律与能量守恒定律】 解答题 某探究小组设计了一个报警装置，其原理如图所示。在坚直放置的圆柱形容器内用面积 $S= 100 \mathrm{~cm}^2$ 、质量 $m=1 \mathrm{~kg}$ 的活塞密封一定质量的理想气体，活塞能无摩擦滑动。开始时气体处于温度 $T_{\mathrm{A}}=300 \mathrm{~K}$ 、活塞与容器底的距离 $h_0=30 \mathrm{~cm}$ 的状态 $A$ 。环境温度升高时容器内气体被加热，活塞缓慢上升 $d=3 \mathrm{~cm}$ 恰好到达容器内的卡口处，此时气体达到状态 $B$ 。活塞保持不动，气体被继续加热至温度 $T_c=363 \mathrm{~K}$ 的状态 $C$ 时触动报警器。从状态 $A$ 到状态 $C$ 的过程中气体内能增加了 $\Delta U=158 \mathrm{~J}$ 。取大气压 $p_0=0.99 \times 10^5 \mathrm{~Pa}$ ，求气体。 （1）在状态 $B$ 的温度； （2）在状态 $C$ 的压强；｜ （3）由状态 $A$ 到状态 $C$ 过程中从外界吸收热量 $Q$ 。 [img=/uploads/2026-05/7351a2.jpg][/img]

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【40264】 【 热力学定律与能量守恒定律】 填空题 一定质量的理想气体，状态从 $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D \rightarrow A$ 的变化过程可用如图所示的 $p-V$ 图描述，图中 $p_1 、 p_2 、 V_1 、 V_2$ 和 $V_3$ 为已知量． [img=/uploads/2026-05/f83faf.jpg][/img] （1）气体状态从 $A$ 到 $B$ 是 $\_\_\_\_$ （填＂等容＂＂等压＂或＂等温＂）过程； （2）状态从 $B$ 到 $C$ 的变化过程中，气体的温度 $\_\_\_\_$ （填＂升高＂＂不变＂或＂降低＂）； （3）状态从 $C$ 到 $D$ 的变化过程中，气体 $\_\_\_\_$ （填＂吸热＂或＂放热＂）。 （4）状态从 $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D$ 的变化过程中，气体对外界所做的总功为 $\_\_\_\_$ ．

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【40263】 【 热力学定律与能量守恒定律】 解答题 如图所示，一根两端开口、横截面积为 $S=2 \mathrm{~cm}^2$ 足够长的玻璃管坚直插入水银槽中并固定 （插入水银槽中的部分足够深）．管中有一个质量不计的光滑活塞，活塞下封闭着长 $L=21 \mathrm{~cm}$ 的气柱，气体的温度为 $t_1=7^{\circ} \mathrm{C}$ ，外界大气压取 $p_0=1.0 \times 10^5 \mathrm{~Pa}$（相当于 75 cm 高的汞柱的压强）． （1）若在活塞上放一个质量为 $m=0.1 \mathrm{~kg}$ 的砝码，保持气体的温度 $t_1$ 不变，则平衡后气柱为多长？ $\left(\mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2\right)$ （2）若保持砝码的质量不变，对气体加热，使其温度升高到 $t_2=77{ }^{\circ} \mathrm{C}$ ，此时气柱为多长？ （3）若在（2）过程中，气体吸收的热量为 10 J ，则气体的内能增加多少？ [img=/uploads/2026-05/ca3f39.jpg][/img]

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【40262】 【 热力学定律与能量守恒定律】 解答题 如图所示为一超重报警装置，其主体是水平地面上的坚直薄壁密闭容器且导热性能良好。容器高 $H=0.5 \mathrm{~m}$ 、横截面积 $S=0.06 \mathrm{~m}^2$ ，底部是深 $h=0.1 \mathrm{~m}$ 的预警区域，内有一厚度和质量均不计的活塞。活塞通过轻杆连接轻质平台，当活塞进入预警区域时，系统会发出超重预警。平台上未放重物时，内部封闭气柱长度 $L=0.4 \mathrm{~m}$ ；平台上轻放质量为 $M$ 的重物时，活塞最终恰好稳定在预警区域上边界。已知环境温度 $T_0=27^{\circ} \mathrm{C}$ ，大气压强 $P_0=1.0 \times 10^5 \mathrm{~Pa}$ ，不计摩擦阻力，求： （1）重物的质量 $M$ ； （2）放上 $M$ 至活塞最终稳定的过程中，密闭气体与外界交换的热量 $Q$ ； （3）若环境温度变为 $-3^{\circ} \mathrm{C}$ 且外界大气压强不变，为保证放上 $M$ 后活塞最终仍稳定在预警区域上边界，应充装与封闭气体同温同压的气体多少体积？ [img=/uploads/2026-05/d7dd5d.jpg][/img]

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