如图所示，一根两端开口、横截面积为 $S=2 \mathrm{~cm}^2$ 足够长的玻璃管坚直插入水银槽中并固定 （插入水银槽中的部分足够深）．管中有一个质量不计的光滑活塞，活塞下封闭着长 $L=21 \mathrm{~cm}$ 的气柱，气体的温度为 $t_1=7^{\circ} \mathrm{C}$ ，外界大气压取 $p_0=1.0 \times 10^5 \mathrm{~Pa}$（相当于 75 cm 高的汞柱的压强）．
（1）若在活塞上放一个质量为 $m=0.1 \mathrm{~kg}$ 的砝码，保持气体的温度 $t_1$ 不变，则平衡后气柱为多长？ $\left(\mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2\right)$
（2）若保持砝码的质量不变，对气体加热，使其温度升高到 $t_2=77{ }^{\circ} \mathrm{C}$ ，此时气柱为多长？
（3）若在（2）过程中，气体吸收的热量为 10 J ，则气体的内能增加多少？