【34783】 【 周民强-常数项级数】 证明题 判别下列级数的敛散性： （1）$\frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4}+\frac{8}{1+a^8}+\cdots=\sum_{n=1} a_n$ ． （2）$\frac{a}{1+a}+\frac{2 a^2}{1+a^2}+\frac{4 a^4}{1+a^4}+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ ．

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【34782】 【 周民强-常数项级数】 证明题 判别下列数列 $\left\{a_n\right\}$ 的敛散性： （1）$a_n=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}-2 \sqrt{n}$ ． （2）$a_n=\sum_{k=1}^n \ln k / k-\ln ^2 n / 2$ 。

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【34781】 【 周民强-常数项级数】 证明题 试证明下列命题： 若 $a_n \neq 1(n=1,2, \cdots)$ ，且 $a_n \rightarrow 1(n \rightarrow \infty)$ ，则级数 $$ \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\sqrt[n]{a_n}\right) \quad \text { 与 } \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1-a_n}{n} $$ 同敛散。特例：$\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\sqrt[n]{1-1 / \ln ^2 n}\right)$ 收敛

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【34780】 【 周民强-常数项级数】 证明题 判别下列级数 $I=\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 的敛散性： （1）$a_n=\left(1-\frac{\ln n}{n}\right)^{2 n}$ ． （2）$a_n=\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n \ln n}$ ．

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【34779】 【 周民强-常数项级数】 证明题 判别下列级数 $I=\sum_{n=1} a_n$ 的敛散性： （1）$a_n=\left(\frac{1}{n}-\sin \frac{1}{n}\right)^p(p>0)$ ． （2）$a_n=\left(\mathrm{e}^{1 / n}-\sin \frac{1}{n}\right)^{n^p}-1$ ．

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【34778】 【 周民强-常数项级数】 证明题 判别下列级数 $I=\sum_{n=1} a_n$ 的敛散性： （1）$a_n=\frac{1}{n^{1+1 / n}}$ ． （2）$a_n=\frac{\sqrt[n]{2}-1}{n^p}$ ． （3）$a_n=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n^p}$ ．

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【34777】 【 周民强-常数项级数】 证明题 试证明下列命题： （1）设 $0<a_n<1(n=1,2, \cdots)$ ，若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(1-a_n\right)$ 收敛。 （2）设 $\left\{a_n\right\}$ 是递减正数列，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=a=0$ 当且仅当 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-a_{n+1} / a_n\right)$ 发散．

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【34776】 【 周民强-常数项级数】 证明题 设 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $0<a_n \leqslant a_{2 n}+a_{2 n+1}(n=1,2, \cdots)$ ，试证明 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散。

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【34775】 【 周民强-常数项级数】 证明题 解答下列问题： （1）求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \sin \frac{\pi}{n+k}$ 之值。 （2）求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}^{-1}$ 之值。

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【34774】 【 周民强-常数项级数】 证明题 试证明下列命题： （1）设级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n / n\right)$ 收敛，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n a_k=0$ 。 （2）设 $a_n>0(n \in \mathbf{N})$ ．若 $\sum_{n=1}^{\infty} 1 / a_n$ 收敛，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n a_k=+\infty$ ．

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