【34773】 【 周民强-常数项级数】 证明题 试证明下列命题： （1）设 $f(x)$ 在 $[1, \infty)$ 上可微，且 $f^{\prime}(x)$ 在 $[1, \infty)$ 上递增．若 $f(x) \rightarrow l(x \rightarrow +\infty)$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} f^{\prime}(n)$ 收敛。 （2）设 $a_n>0(n \in \mathbf{N})$ 。若 $\sum_{k=1}^n a_k / n \geqslant \sum_{k=n+1}^{2 n} a_k$ ，则 $I=\sum_{n=1}^{\infty} a_n \leqslant 2 a_1 \mathrm{e}$ 。

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【34772】 【 周民强-常数项级数】 证明题 求级数 $\frac{a}{1-a^2}+\frac{a^2}{1-a^4}+\frac{a^4}{1-a^8}+\cdots$ 之和．

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【34771】 【 周民强-常数项级数】 证明题 试证明下列级数的发散性（用必要条件）： （1）$I=\sum_{n=1}^{\infty}\left(n^2+2\right) \ln \left(\frac{n^2+1}{n^2}\right)$ ． （2）$I=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2 n^2-3}{2 n^2+1}\right)^{n^2}$ ． （3）$I=\sum_{n=1}^{\infty} \cos (n \alpha)$ ． （4）$I=\sum_{n=1}^{\infty}(\cos n)^n$ ．

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【34770】 【 周民强-常数项级数】 证明题 给定 $k(k \geqslant 2)$ 值，试证明级数 $$ \sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{1}{(n-1) k+1}+\frac{1}{(n-1) k+2}+\cdots+\frac{1}{n k-1}-\frac{x}{n k}\right] $$ 只在唯一的 $x$ 点上收敛，求此点及级数的和．

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【34769】 【 周民强-常数项级数】 证明题 试证明下列命题： （1）设 $a>0, b>a+1$ ，则 $I=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a(a+1) \cdots(a+n-1)}{b(b+1) \cdots(b+n-1)}=\frac{a}{b-a-1}$ ．

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【34768】 【 周民强-常数项级数】 解答题 求下列级数 $I=\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 的和： (1) $a_n=3^{n-1} \cdot \sin ^3\left(\frac{\theta}{3^n}\right)$. (2) $a_n=\frac{1}{2^n} \tan \frac{\theta}{2^n}(\theta \neq 0)$.

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【34767】 【 周民强-常数项级数】 证明题 求下列级数 $I=\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 的和： (1) $a_n=\sin \frac{1}{2^n} \cdot \cos \frac{3}{2^n}$. (2) $a_n=\arctan \frac{1}{2 n^2}$.

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【34766】 【 周民强-常数项级数】 证明题 计算 $I=\sum_{n=1} \frac{3 n-1}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}$.

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【34765】 【 周民强-常数项级数】 证明题 计算 $I=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n-\sqrt{n^2-1}}{\sqrt{n(n+1)}}$.

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【34764】 【 福建省福州市第四中学2024-2025学年第一学期八年级12月适应性练习】 解答题 如图，在 $\mathrm{Rt} \triangle A B C$ 中，过点 $B$ 作 $\angle B A C$ 的平分线的垂线，垂足为 $D, B D=A C$ [img=/uploads/2025-12/726ada.jpg][/img] （1）求证：$\angle E B A=\angle E A C$ ； （2）在射线 $A C$ 上取一点 $F$ ，以 $B F$ 为边，在 $B F$ 的上方作等边三角形 $B F G$ ，过点 $A$ 作直线 $l \| B D$ ． ① 试说明点 $G$ 与直线 $l$ 的位置关系； ② 若 $B D=2$ ，求 $2 C G+A F$ 的最小值．

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