【34793】 【 广州大学《概率论与数理统计》期末考试试卷】 单选题 设 $A$ 表示事件＂物理及格，化学不及格＂，则其对立事件 $\bar{A}$ 表示

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【34792】 【 周民强-常数项级数】 证明题 判别下列级数 $I=\sum_{n=2} a_n$ 的收敛性： （1）$a_n=\cos \left(n \pi+\frac{\pi}{6}\right) \ln \left[1+\frac{2}{n}\right]$ ． （2）$a_n=\frac{\sin (2 n) \cdot \ln ^2 n}{n^a}(\alpha>0)$ ． （3）$a_n=\frac{\sin (n \alpha) \cdot \cos (1 / n)}{\ln \ln (n+2)}$ ． （4）$\alpha_n=\frac{\cos (n+\pi / 4)}{\ln (n+1)}$ ．

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【34791】 【 周民强-常数项级数】 证明题 试证明下列命题： （1）设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，且 $n a_n \rightarrow 0(n \rightarrow \infty)$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n\left(a_n-a_{n+1}\right)=\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛。 （2）（Kronecker）设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，$\left\{p_n\right\}$ 是递增正数列且 $p_n \rightarrow+\infty(n \rightarrow \infty)$ ，则 $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{p_n} \sum_{i=1}^n p_i a_i=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_1 p_1+a_2 p_2+\cdots+a_n p_n}{p_n}=0 . $$ 特别有（i）若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n k a_k / n=0$ 。 （ii）若 $\left\{a_n\right\}$ 是递减趋于零的数列，且 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$ 收敛，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n \sum_{k=1}^n b_k=0$ ．

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【34790】 【 周民强-常数项级数】 证明题 判别下列级数 $I=\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 的绝对收敛性： （1）$a_n=\frac{\sin 3 n}{n \cdot \ln n \cdot \ln ^2 n}(n \geqslant 2)$ ． （2）$a_n=(-1)^n \frac{(2 n)!!}{(n+1)^n}$ ．

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【34789】 【 周民强-常数项级数】 证明题 判别下列级数 $I=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_n$ 的敛散性： （1）$a_n=\frac{(\ln n)^\alpha}{n^\beta}(\alpha, \beta>0)$ ． （2）$a_n=\frac{\ln \ln (n+2)}{\ln (n+1)}$ ． （3）$a_n=\frac{\ln n}{(1+\ln n)^2}$ ．

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【34788】 【 周民强-常数项级数】 证明题 试证明下列命题： （1）设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n=0$ ，则 $I=\lim _{N \rightarrow \infty} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N\left|S_n\right|=0\left\{S_n=\sum_{k=1}^n a_k\right\}$ 。 （2）设 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_n=0$ ，且对 $k \in \mathbf{N}$ ，级数 $S_k=\sum_{n=1}^{\infty} \mathrm{e}^{-n / k} a_n$ 收敛。若 $\lim _{k \rightarrow+\infty} S_k= l$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n=l$ ．

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【34787】 【 周民强-常数项级数】 证明题 级数 $1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdots$ 发散。

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【34786】 【 周民强-常数项级数】 证明题 判别下列级数 $I=\sum_{n=1} a_n$ 的敛散性： （1）$a_n=\frac{1}{2^{\sqrt{n}}}$ ． （2）$a_n=\frac{1}{a^{\ln n}}(a>0)$ ．

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【34785】 【 周民强-常数项级数】 证明题 试证明下列命题： （1）设 $a_1>1, a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n^\alpha}(n=1,2, \cdots), 0<\alpha<1$ ，则 $I=\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛。 （2）设 $a_n>0(n=1,2, \cdots)$ 。若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n / n$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left[\sum_{k=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^2+k^2}\right]$ 收敛。

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【34784】 【 周民强-常数项级数】 证明题 判别下列级数 $I=\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 的敛散性： （1）$a_n=(\sqrt[n]{n}-1)^n$ ． （2）$a_n=\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n(n+1)}$ ． （3）$a_n=\left(\frac{n^2+1}{n^2+n+1}\right)^{n^2}$ ． （4）$a_n=\frac{n^{n+1}}{\left(3 n^2+2 n+1\right)^{(n+3) / 2}}$ ． （5）$a_n=\left(\frac{1+\cos n}{2+\cos n}\right)^{2 n-\ln n}$ ．

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