【36644】 【 《线性代数》方程组的解和基础解析】 单选题 齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}\lambda x_1+x_2+\lambda^2 x_3=0, \\ x_1+\lambda x_2+x_3=0, \\ x_1+x_2+\lambda x_3=0\end{array}\right.$ 的系数矩阵记为 $\boldsymbol{A}$ ．若存在三阶矩阵 $\boldsymbol{B} \neq \boldsymbol{O}$ 使得 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$ ，则

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【36643】 【 《线性代数》方程组的解和基础解析】 单选题 非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 中末知旺个数为 $n$ ，方程个数为 $m$ ，系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 $r$ ，则

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【36642】 【 《线性代数》方程组的解和基础解析】 单选题 设 $\boldsymbol{A}$ 是四阶矩阵， $\boldsymbol{A}^{\cdot}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵，若线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系中只有 2个向量，则 $\boldsymbol{A}^*$ 的秩是

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【36641】 【 《线性代数》方程组的解和基础解析】 单选题 设 $\boldsymbol{A}$ 为 $m \times n$ 矩阵，则齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 仅有零解的充分条件是

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【36640】 【 《线性代数》方程组的解和基础解析】 单选题 设 $n$ 元齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 $r$ ，则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有非零解的充分必要条件是

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【36639】 【 向量空间与线性表示专题训练】 解答题 已知 $\mathbf{R}^3$ 的两个基为 $\boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_3=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$ 与 $\boldsymbol{\beta}_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right), \boldsymbol{\beta}_2=\left(\begin{array}{l}2 \\ 3 \\ 4\end{array}\right)$ ， $\boldsymbol{\beta}_3=\left(\begin{array}{l}3 \\ 4 \\ 3\end{array}\right)$ ．求由基 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 到基 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 的过渡矩阵 $\boldsymbol{P}$ ．

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【36638】 【 向量空间与线性表示专题训练】 证明题 设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n \times m$ 矩阵， $\boldsymbol{B}$ 是 $m \times n$ 矩阵，其中 $n<m, \boldsymbol{E}$ 是 $n$ 阶单位矩阵．若 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}= \boldsymbol{E}$ ，证明 $\boldsymbol{B}$ 的列向坦组线性无关．

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【36637】 【 向量空间与线性表示专题训练】 解答题 设 4 维向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1+a, 1,1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=(2,2+a, 2,2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_3= (3,3,3+a, 3)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_4=(4,4,4,4+a)^{\mathrm{T}}$ ，问 $a$ 为何值时 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 线性相关？当 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出．

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【36636】 【 向量空间与线性表示专题训练】 解答题 确定常数 $a$ ，使向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,1, a)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=(1, a, 1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_3=(a, 1,1)^{\mathrm{T}}$ 可由向量组 $\boldsymbol{\beta}_1=(1,1, a)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_2=(-2, a, 4)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_3=(-2, a, a)^{\mathrm{T}}$ 线性表示，但向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 不能由向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性表示．

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【36635】 【 向量空间与线性表示专题训练】 解答题 设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1=(a, 2,10)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=(-2,1,5)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_3=(-1,1,4)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}=(1, b, c)^{\mathrm{T}}$ ，试问 $a, b, c$ 满足什么条件时， （I） $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性表出，且表示唯一？ （II） $\boldsymbol{\beta}$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性表出？ （III） $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性表出，但表示不唯一？并求出一般表达式．

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