【36624】 【 二项分布、超几何分布及正态分布】 解答题 投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用。设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0.5 ，复审的稿件能通过评审的概率为 0.3 ．各专家独立评审． （1）求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率； （2）记 $X$ 表示投到该杂志的 4 篇稿件中被录用的篇数，求 $X$ 的分布列及期望．

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【36623】 【 二项分布、超几何分布及正态分布】 解答题 2026 年 3 月某学校举办了春季科技体育节，其中安排的女排赛事共有 12 个班级作为参赛队伍，本次比赛启用了新的排球用球MIKASA＿V200W 已知这种球的质量指标 $\xi$（单位：g）服从正态分布 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，其中 $\mu=270, \sigma=5$ ．比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行 11 场比赛，最后靠积分选出最后冠军，积分规则如下（比赛采取 5 局 3 胜制）：比赛中以 3： 0 或 3： 1 取胜的球队积 3 分，负队积 0 分；而在比赛中以 3： 2 取胜的球队积 2 分，负队积 1 分． 9 轮过后，积分榜上的前 2 名分别为 1 班排球队和 2 班排球队， 1 班排球队积 26 分， 2 班排球队积 22 分．第 10 轮 1 班排球队对抗 3 班排球队，设每局比赛 1 班排球队取胜的概率为 $p(0<p<1)$ ． （1）令 $\eta=\frac{\xi-\mu}{\sigma}$ ，则 $\eta \sim N(0,1)$ ，且 $\Phi(a)=P(\eta<a)$ ，求 $\Phi(-2)$ ，并证明：$\Phi(-2)+\Phi(2)=1$ ； （2）第 10 轮比赛中，记 1 班排球队 $3: 1$ 取胜的概率为 $f(p)$ ，求出 $f(p)$ 的最大值点 $p_0$ ，并以 $p_0$ 作为 $p$ 的值，解决下列问题． （i）在第 10 轮比赛中， 1 班排球队所得积分为 $X$ ，求 $X$ 的分布列； （ii）已知第 10 轮 2 班排球队积 3 分，判断 1 班排球队能否提前一轮夺得冠军（第 10 轮过后，无论最后一轮即第 11 轮结果如何， 1 班排球队积分最多）？若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由． 参考数据：$X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，则 $P(\mu-\sigma<X \leq \mu+\sigma) \approx 0.6827, P(\mu-2 \sigma<X \leq \mu+2 \sigma) \approx 0.9545$ ， $$ P(\mu-3 \sigma<X \leq \mu+3 \sigma) \approx 0.9973 . $$

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【36622】 【 二项分布、超几何分布及正态分布】 解答题 某网络 $A P P$ 在平台开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，竞猜活动共五关，规定：上一关不通过则不进入下一关，本关第一次未通过有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失败，且各关能否通过相互独立，已知甲、乙、丙三人都参加了该项活动． （1）若甲第一关通过的概率为 $\frac{3}{4}$ ，第二关通过的概率为 $\frac{2}{3}$ ，求甲可以进入第三关的概率； （2）已知该闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为 450 分，现要根据得分给共 2500 名参加者中得分前 400名发放奖励， （1）假设该闯关活动平均分数为 171 分， 351 分以上共有 57 人，已知甲的得分为 270 分，问甲能否获得奖励，请说明理由； （2）丙得知他的分数为 430 分，而乙告诉丙：＂这次闯关活动平均分数为 201 分， 351 分以上共有 57 人＂，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪． 附：若随机变量 $Z \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，则 $P(\mu-\sigma \leq X \leq \mu+\sigma) \approx 0.6827 ; P(\mu-2 \sigma \leq X \leq \mu+2 \sigma) \approx 0.9545$ ； $$ P(\mu-3 \sigma \leq X \leq \mu+3 \sigma) \approx 0.9973 . $$

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【36621】 【 二项分布、超几何分布及正态分布】 多选题 已知某果园的每棵果树生长的果实个数为 $X$ ，且 $X$ 服从正态分布 $N\left(90, \sigma^2\right), X$ 小于 70 的概率为 0.2 ，从该果园随机选取 10 棵果树，其中果实个数在 $[90,110]$ 的果树棵数记作随机变量 $Y$ ，则下列说法正确的是（ ）

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【36620】 【 二项分布、超几何分布及正态分布】 单选题 若随机变量 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)(\sigma>0)$ ，则有如下结论：$(P(|X-\mu|<\sigma)=0.6826, P(|X-\mu|<2 \sigma)=0.9544$ ， $P(|X-\mu|<3 \sigma)=0.9974)$ ，高三（1）班有 40 名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分为 120 ，方差为 100 ，理论上说在 130 分以上人数约为（ ）

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【36619】 【 二项分布、超几何分布及正态分布】 单选题 某物理量的测量结果服从正态分布 $N\left(10, \sigma^2\right)$ ，下列结论中不正确的是（ ）

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【36618】 【 二项分布、超几何分布及正态分布】 单选题 山东烟台某地种植的苹果按果径 $X$（单位： mm ）的大小分级，其中 $X \in(80,100]$的苹果为特级，且该地种植的苹果果径 $X \sim N(85,25)$ ．若在某一次采摘中，该地果农采摘了 2 万个苹果，则其中特级苹果的个数约为 （参考数据：$X: N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ， $$ P(\mu-\sigma<X \leq \mu+\sigma) \approx 0.6827 . P(\mu-2 \sigma<X \leq \mu+2 \sigma) \approx 0.9545, P(\mu-3 \sigma<X \leq \mu+3 \sigma) \approx 0.9973) $$

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【36617】 【 二项分布、超几何分布及正态分布】 解答题 某学校从全体师生中随机抽取 30 位男生、 30 位女生、 12 位教师一起参加社会实践活动． （1）假设 30 位男生身高均不相同，记其身高的第 80 百分位数为 $\alpha$ ，从学校全体男生中随机选取 3 人，记 $X$ 为 3 人中身高不超过 $\alpha$ 的人数，以频率估计概率求 $X$ 的分布列及数学期望； （2）从参加社会实践活动的 72 人中一次性随机选出 30 位，记被选出的人中恰好有 $k(k=1,2, \mathrm{~L}, 30)$ 个男生的概率为 $P(k)$ ，求使得 $P(k)$ 取得最大值的 $k$ 的值．

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【36616】 【 二项分布、超几何分布及正态分布】 解答题 教育是阻断贫困代际传递的根本之策．补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在。治贫先治愚，扶贫先扶智。为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从 5 名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分 3 批次进行，每次支教需要同时派送 2 名教师，且每次派送人员均从这 5 人中随机抽选。已知这 5 名优秀教师中， 2 人有支教经验， 3 人没有支教经验． （1）求 5 名优秀教师中的＂甲＂，在这 3 批次支教活动中恰有两次被抽选到的概率； （2）求第一次抽取到无支教经验的教师人数 $X$ 的分布列；

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【36615】 【 二项分布、超几何分布及正态分布】 解答题 某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由 $2 k-1\left(k \in \mathbf{N}^*\right)$ 个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为 $p(0<p<1)$ ，各元件之间相互独立．当控制系统有不少于 $k$ 个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为 $p_k$（例如：$p_2$ 表示控制系统由 3 个元件组成时设备正常运行的概率；$p_3$ 表示控制系统由 5 个元件组成时设备正常运行的概率）。 （1）若 $p=\frac{2}{3}$ ，当 $k=2$ 时，求控制系统中正常工作的元件个数 $X$ 的分布列和数学期望，并求 $p_3$ ； （2）已知设备升级前，单位时间的产量为 $a$ 件，每件产品的利润为 1 元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的 4 倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为 $\frac{1}{4}$ ，每件高端产品的利润是 2 元．记设备升级后单位时间内的利润为 $Y$（单位：元）． （i）请用 $p_k$ 表示 $E(Y)$ ； （ii）设备升级后，在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，分析该设备能否通过增加控制系统中元件的个数来提高利润．

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