【36614】 【 二项分布、超几何分布及正态分布】 解答题 自2019年底开始，一种新型冠状病毒 COVID－19 开始肆虐全球。人感染了新型冠状病毒后初期常见发热乏力、咽痛干咳、鼻塞流涕、腹痛腹泻等症状，严重者可致呼吸困难、脏器衰竭甚至死亡。目前筛查冠状病毒的手段主要是通过鼻拭子或咽拭子采集样本，再进行核酸检验是否为阳性来判断．假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果（阳性、阴性）是相互独立的，且每份样本是阳性结果的概率均为 $p(0<p<1)$ ． （1）若 $p=\frac{1}{3}$ ，现对 4 份样本进行核酸检测，求这 4 份中检验结果为阳性的份数 $\xi$ 的分布列及期望； （2）若 $p=1-2^{-\frac{1}{4}}$ ，现有 $2 k\left(k \in \mathrm{~N}^*, k \geq 2\right)$ 份样本等待检验，并提供＂$k$ 合1＂检验方案：将 $k\left(k \in \mathrm{~N}^*, k \geq 2\right)$ 份样本混合在一起检验．若检验结果为阴性，则可认为该混合样本中的每个人都为阴性；若检验结果为阳性，则要求该组中各个样本必须再逐个检验．试比较用＂$k$ 合 1 ＂检验方案所需的检验次数 $X$ 的期望 $E(X)$ 与 $2 k$ 的大小．

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【36613】 【 二项分布、超几何分布及正态分布】 解答题 某区在高中阶段举行的物理实验技能操作竞赛分基本操作与技能操作两步进行，第一步基本操作：每位参赛选手从 A 类 7 道题中任选 4 题进行操作，操作完后正确操作超过两题的（否则终止比赛），才能进行第二步技能操作：从 $B$ 类 5 道题中任选 3 题进行操作，直至操作完为止．A类题操作正确得 10 分，$B$ 类题操作正确得 20 分。以两步总分和决定优胜者。总分 80 分或 90 分为二等奖， 100分为一等奖。某校选手李明 $A$ 类 7 题中有 5 题会操作，$B$ 类 5 题中每题正确操作的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，且各题操作互不影响。 （1）求李明被终止比赛的概率； （2）现已知李明 $A$ 类题全部操作正确，求李明 $B$ 类题操作完后得分的分布列及期望； （3）求李明获二等奖的概率．

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【36612】 【 二项分布、超几何分布及正态分布】 解答题 某大学一个专业团队为某专业大学生研究了多款学习软件，其中有A ，B ，C 三款软件投入使用，经一学年使用后，团队调查了这个专业大一四个班的使用情况，从各班抽取的样本人数如下表： [img=/uploads/2026-01/744eca.jpg][/img] （1）从这 12 人中随机抽取 2 人，求这 2 人恰好来自同一班级的概率； （2）从这 12 名学生中，指定甲、乙、丙三人为代表，已知他们下午自习时间每人选择一款软件，其中选 A，B两款软件学习的概率都是 $\frac{1}{6}$ ，且他们选择 $A, B, C$ 任一款软件都是相互独立的，设这三名学生中下午自习时间选软件 $C$ 的人数为 $\xi$ ，求 $\xi$ 的分布列和数学期望．

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【36611】 【 二项分布、超几何分布及正态分布】 解答题 2023年亚运会在中国杭州举办，开幕式门票与其他赛事门票在网上开始预定，亚奥理事会规定：开幕式门票分为 $A 、 B$ 两档，当预定 $A$ 档未成功时，系统自动进入 $B$ 档预定，已知获得 $A$ 档门票的概率是 $\frac{1}{5}$ ，若未成功，仍有 $\frac{1}{4}$ 的概率获得 $B$ 档门票的机会；而成功获得其他赛事门票的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，且获得每张门票之间互不影响．甲预定了一张 $A$ 档开幕式门票，一张赛事门票；乙预定了两张赛事门票． （1）求甲乙两人都没有获得任何门票的概率； （2）求乙获得的门票数比甲多的概率．

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【36610】 【 二项分布、超几何分布及正态分布】 解答题 某工厂车间有 6 台相同型号的机器，各台机器相互独立工作，工作时发生故障的概率都是 $\frac{1}{4}$ ，且一台机器的故障由一个维修工处理．已知此厂共有甲、乙、丙 3 名维修工，现有两种配备方案，方案一：由甲、乙、丙三人维护，每人负责 2 台机器；方案二：由甲乙两人共同维护 6 台机器，丙负责其他工作。 （1）对于方案一，设 $X$ 为甲维护的机器某一时刻发生故障的台数，求 $X$ 的分布列与数学期望 $E(X)$ ； （2）在两种方案下，分别计算某一时刻机器发生故障时不能得到及时维修的概率，并以此为依据来判断，哪种方案能使工厂的生产效率更高？

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【36609】 【 2026年1月华北电力大学高等数学I期末考试试卷】 证明题 设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $f(0)=f(1)=0, ~ f\left(\frac{1}{2}\right)=1$ ，证明：在 $(0,1)$ 内至少存在一点 $\xi$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=1$ 。

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【36608】 【 2026年1月华北电力大学高等数学I期末考试试卷】 证明题 证明：若 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=A$ ，则 $\lim _{x \rightarrow x_0}|f(x)|=|A|$ ，并举例如说明 $A \neq 0$ 时，反之不一定成立；

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【36607】 【 2026年1月华北电力大学高等数学I期末考试试卷】 证明题 按数列极限的 $\varepsilon-N$ 定义，证明： $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2 n^2+1}{3 n^2+2}=\frac{2}{3} $$

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【36606】 【 2026年1月华北电力大学高等数学I期末考试试卷】 解答题 讨论函数 在 $x=0$ 的连续性与可导性。 $$ f(x)= \begin{cases}x \sin \frac{1}{x}, & x<0 \\ x, & x \geq 0\end{cases} $$

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【36605】 【 2026年1月华北电力大学高等数学I期末考试试卷】 解答题 设函数 $f(x)=2 x^3-3 x^2-36 x+25$ （1）求函数的单调区间及极值； （2）求函数的凹凸区间及拐点；

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