设 4 维向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1+a, 1,1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=(2,2+a, 2,2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_3= (3,3,3+a, 3)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_4=(4,4,4,4+a)^{\mathrm{T}}$ ，问 $a$ 为何值时 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 线性相关？当 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出．