单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性无关，向量 $\boldsymbol{\beta}_1$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性表示，而向量 $\boldsymbol{\beta}_2$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性表示，则对于任意常数 $k$ ，必有
$\text{A.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, k \boldsymbol{\beta}_1+\boldsymbol{\beta}_2$ 线性无关．
$\text{B.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, k \boldsymbol{\beta}_1+\boldsymbol{\beta}_2$ 线性相关．
$\text{C.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\beta}_1+k \boldsymbol{\beta}_2$ 线性无关．
$\text{D.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\beta}_1+k \boldsymbol{\beta}_2$ 线性相关
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 均为 $n$ 阶矩阵，若 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{C}$ ，且 $\boldsymbol{B}$ 可逆，则
$\text{A.}$ 矩阵 $\boldsymbol{C}$ 的行向量组与矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的行向量组等价．
$\text{B.}$ 矩阵 $\boldsymbol{C}$ 的列向量组与矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的列向量组等价．
$\text{C.}$ 矩阵 $\boldsymbol{C}$ 的行向量组与矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的行向量组等价．
$\text{D.}$ 矩阵 $\boldsymbol{C}$ 的列向量组与矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的列向量组等价．
填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设行向量组 $(2,1,1,1),(2,1, a, a),(3,2,1, a),(4,3,2,1)$ 线性相关，且 $a \neq$ 1 ，则 $a=$
已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,2,3,4), \boldsymbol{\alpha}_2=(2,3,4,5), \boldsymbol{\alpha}_3=(3,4,5,6), \boldsymbol{\alpha}_4=(4,5,6,7)$ ，则该向量组的秩是
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,0,2,3), \boldsymbol{\alpha}_2=(1,1,3,5), \boldsymbol{\alpha}_3=(1,-1, a+2,1), \boldsymbol{\alpha}_4=(1,2,4, a+$
8）及 $\boldsymbol{\beta}=(1,1, b+3,5)$ ．
（I）$a, b$ 为何值时， $\boldsymbol{\beta}$ 不能表示成 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 的线性组合？
（II）$a, b$ 为何值时， $\boldsymbol{\beta}$ 有 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 的唯一的线性表示式？并写出该表示式．
设有 3 三维列向量 $\boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{c}1+\lambda \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1+\lambda \\ 1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_3=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 1+\lambda\end{array}\right), \boldsymbol{\beta}=\left(\begin{array}{c}0 \\ \lambda \\ \lambda^2\end{array}\right)$ ，问 $\lambda$ 取何值时：
（I） $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性表示，且表达式唯一？
（II） $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性表示，且表达式不唯一？
（III） $\boldsymbol{\beta}$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性表示？
设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1=(a, 2,10)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=(-2,1,5)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_3=(-1,1,4)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}=(1, b, c)^{\mathrm{T}}$ ，试问 $a, b, c$ 满足什么条件时，
（I） $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性表出，且表示唯一？
（II） $\boldsymbol{\beta}$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性表出？
（III） $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性表出，但表示不唯一？并求出一般表达式．
确定常数 $a$ ，使向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,1, a)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=(1, a, 1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_3=(a, 1,1)^{\mathrm{T}}$ 可由向量组 $\boldsymbol{\beta}_1=(1,1, a)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_2=(-2, a, 4)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_3=(-2, a, a)^{\mathrm{T}}$ 线性表示，但向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 不能由向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性表示．
设 4 维向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1+a, 1,1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=(2,2+a, 2,2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_3= (3,3,3+a, 3)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_4=(4,4,4,4+a)^{\mathrm{T}}$ ，问 $a$ 为何值时 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 线性相关？当 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出．
已知 $\mathbf{R}^3$ 的两个基为 $\boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_3=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$ 与 $\boldsymbol{\beta}_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right), \boldsymbol{\beta}_2=\left(\begin{array}{l}2 \\ 3 \\ 4\end{array}\right)$ ， $\boldsymbol{\beta}_3=\left(\begin{array}{l}3 \\ 4 \\ 3\end{array}\right)$ ．求由基 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 到基 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 的过渡矩阵 $\boldsymbol{P}$ ．
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n \times m$ 矩阵， $\boldsymbol{B}$ 是 $m \times n$ 矩阵，其中 $n < m, \boldsymbol{E}$ 是 $n$ 阶单位矩阵．若 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}= \boldsymbol{E}$ ，证明 $\boldsymbol{B}$ 的列向坦组线性无关．