【37666】 【 上海交通大学第二学期期末考试(试卷4)】 单选题 设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 条件收敛，则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n+\frac{1}{n}\right) x^n$ 的收敛半径 $R$ 为 ）．

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【37665】 【 上海交通大学第二学期期末考试(试卷4)】 单选题 若对 $\mathbf{R}^2$ 上的任何逐段光滑闭曲线 $L$ ，都有 $\oint_L\left(y \mathrm{e}^{x y}+x y\right) \mathrm{d} x+\left(x \mathrm{e}^{x y}-\right. \left.\lambda x^2\right) \mathrm{d} y=0$ ，则有 $(\quad)$ ．

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【37664】 【 上海交通大学第二学期期末考试(试卷4)】 单选题 设三重积分 $\iiint_{0 \leqslant x \leqslant 1} x y z^2 \mathrm{e}^{x y z} \mathrm{~d} V=I_1$, 定义域为 $0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1 ,0 \leqslant z \leqslant 1$。 和 $\iiint_{0 \leqslant r \leqslant 1} x y z^2 \mathrm{e}^{x y z} \mathrm{~d} V=I_2$ ，定义域为 $0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1 ,-1 \leqslant z \leqslant 0$ 则

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【37663】 【 上海交通大学第二学期期末考试(试卷4)】 单选题 设函数 $f(x, y)$ 可微，且存在唯一驻点 $M_0\left(x_0, y_0\right)$ ，则 () 。

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【37662】 【 2026年厦门大学高等代数考研真题及详细参考解答】 解答题 证明：对任意正整数 $m, n$ ，必存在 2025 阶方阵 $X$ ，使得 $$ X^m+X^n=\left(\begin{array}{cccccc} 2 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 2 & \ldots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 2024 & 2023 & \ldots & 3 & 2 & 0 \\ 2025 & 2024 & \ldots & 3 & 2 & 2 \end{array}\right) . $$

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【37661】 【 2026年厦门大学高等代数考研真题及详细参考解答】 解答题 设 $V$ 是复数域 $\mathbb{C}$ 上的 $n$ 维线性空间，$\sigma$ 是 $V$ 上的不可逆且非幂等的线性变换，证明：存在 $\sigma-$ 子空间 $V_1, V_2$ ，满足 $V=V_1 \oplus V_2$ ，且 $\sigma \mid V_1$ 为可逆变换，$\sigma \mid V_2$ 为幂等变换。

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【37660】 【 2026年厦门大学高等代数考研真题及详细参考解答】 解答题 设 $f(x)=x^n+a_1 x^{n-1}+a_{n-1} x+a_n$ 是数域 $F$ 上的不可约多项式，$\varphi$是数域 $F$ 上线性空间 $V$ 上的线性变换，若 $V$ 中非零向量 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 满足： $$ \varphi\left(\alpha_i\right)=\alpha_{i+1},(1 \leq i \leq n-1), \varphi\left(\alpha_n\right)=-a_n \alpha_1-a_{n-1} \alpha_2-\cdots-a_1 \alpha_n . $$ 证明：$a_1, a_2, \cdots, a_n$ 线性无关．

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【37659】 【 2026年厦门大学高等代数考研真题及详细参考解答】 解答题 设 $f(x)$ 是实数域上的二次多项式，且以首一多项式表示最大公因式，若 $\left(f(x), f^{\prime}(x)\right)=f^{\prime \prime}(x)$ ，且 $f(2025)=0$ ，求 $f(x)$

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【37658】 【 2026年厦门大学高等代数考研真题及详细参考解答】 解答题 设 $n$ 阶实矩阵 $\boldsymbol{A}$ 满足： $\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{A}$ ，证明： （1）$A$ 可对角化． （2）存在实对称矩阵 $B$ 和正定矩阵 $C$ ，使得 $A=B C$ ．

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【37657】 【 2026年厦门大学高等代数考研真题及详细参考解答】 解答题 设 $A=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}=\left(\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right)$ 为 3 阶实矩阵，若每个元素 $a_{i j}$ 都等于 $a_{i j}$的代数余子式 $A_{i j}$ ，即 $a_{i j}=A_{i j},(i, j=1,2,3)$ ．如果 $a_{33}=1$ ，求非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A}\left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$ 的解．

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